PS

命題

Pro-embedding

(・・・とでも呼ぶことにする) 命題 Pseudofunctor: を次のようにして定義できる: 参考文献 Arrows are Strong Monads.pdf

Arrow fragments are monoids

以下、1-category において・・・ Monoidal category of endoprofunctors @ignore Bicategory of profunctors: で、特に profunctor の domain と codomain を 1-category に固定すると、monoidal category: を作れる。 Bicategory of 1-profunctors Arrow-frag…

Enriched profunctors

Symmetric closed monoidal category において・・・ Profunctor なる形の -erirched functor のことを と書き、-enriched profunctor と呼ぶことにする。 1-category of profunctors Horizontal composition of profunctors Profunctor: について とすると coe…

Enriched co-Yoneda isomorphisms

(こちらもやっておくのが筋だろうということで) Symmetric closed monoidal category において・・・ 命題: Yoneda isomorphisms via coends 証明 Yoneda isomorphsim の flip を curry に変えるだけ: 参考文献 end in nLab Co-Yoneda lemma - PS

Coproduct と coequalizer からの coend

命題 Coproduct と coequalizer から coend が作れる。 証明 -enriched functor: について とすると は coending cowedge になる。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory end in nLab

Traced monoidal category

再帰の圏論的表現。 Right trace Monoidal category において、natural transformation*1: で、もろもろの coherence 要件を満たすもの。その要件により right trace を次のように描ける: Right trace を持つ monoidal cateogry を right traced monoidal ca…

Enriched Yoneda lemma in string diagrams

(ふとひらめいたが役に立つかは分からない) Uncurried Functoriality A naturality Yoneda bijection 記法 命題 円周上で の functoriality や の naturality を使っても矛盾がない・・・というのが Yoneda lemma? 参考文献 [0908.3347] A survey of graphical…

Conical limits in enriched categories

定義: 1-limits 1-functor: 命題: 1-limits via weighted limits 証明 Representability による limit - PS による。 による。 命題 1-functor: 1-category: -category: について、Free enriched category - PS による 2-adjunction: を使うと -natural in …

Naturality of Yoneda bijections

1-naturality of Yoneda bijections についての 1-naturality*1: 特に のときは 系 つまり で、かつ iso ならば iso 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory *1:comma category 間の 1-functoriality でもある

(Co)ends in enriched categories

End 特に、 のとき、 preserves ends より記号に矛盾は無い。 Coend 命題: (Co)ends via weighted (co)limits existence-compatible 証明 命題: (Co)powers preserve (co)ends ただし、preservation of ends は (Co)ends via weighted (co)limits を通して P…

Free enriched category

Free enriched category 1-category について -category: を Unit-copower monoidal functor - PS を使って次のように定義できる。 これは monoidal functoriality により確かに -category になる。 Enriching 2-functor 上記と同様にして Unit-copower mono…

Unit-copower monoidal functor

(・・・とでも呼んでみる) 以下、curry(close) bijection の箱の添字は省略する。 Copowers in 1-categories natural in Copower bijections 上記の natural isomorphism は copower injection: による bijection: により表すことができるのであった。 命題: Cl…

Limit-cylinder

Weighted limit の limiting-cone 的なもの。 記法.1 @deprecated 以下、Currying の記法 を使って とする。 記法.1' 以下、Lambda 記法 - PS を使って とする。 Cylinder -morphism: のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により -natural…

Weighted limits via conical limits

Conical (co)limits Weighted (co)limit に対してフツーの (co)limit のことを conical (co)limit という。 *1 に注意すると、特に weight が constant functor: の場合の weighted (co)limit が conical (co)limit である: Category of elements Any set-va…

RAPL

@deprecated 代わりに RAPL in string diagrams - PS を参照。 記法.1 の limiting cone を それへの mediator を と書いてしまうことにする。 記法.2 命題 Right Adjoints Preserve Limits: adjunction について ならば 証明.1 よって Universality - PS よ…

Weighted limits of representations

記法 Representation について と書くことにする。定義により 命題 -functor: について ならば preserves the 記法 証明 まず、Enriched representability - PS の命題より右辺は well-formed。 これを計算すると確かに Preservation of weighted limits - P…

Fubini theorem in weighted limits

記法.1 @deprecated と(勝手に)書くことにする。詳しくは Monoidal product of enriched categories - PS Self-enriched monoidal product - PS を使って 記法.2 命題 証明 系 Dual 証明 @deprecated 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (…

Every presheaf is a colimit of representables

以下、Lambda 記法 - PS の記法を使う。 Pointwise weighted limits Pointwise weighted limits - PS より: Pointwise weighted colimits (怪しい)証明 @deprecated @deprecated Contravariant Yoneda embedding @deprecated 命題 証明 具体的には、以下の二…

Weighted colimit

Opposite category の記法 @deprecated とすると は functorial にならないことに注意する。 以下、この記法により variance を明示する。 Weighted limit @deprecated Weighted colimit @deprecated Commutativity Symmetricity of weighted colimits 証明 …

Pointwise weighted limits

Currying の記法 @deprecated -functor: について、curry isomorphism により対応する -functor: を と書くことに(勝手に)する。 Lambda 記法 Lambda 記法 - PS を参照。 命題 -functor: について、weighted limit の族: が存在するならば (右辺は Enriched …

Fubini theorems via ends

Fubini theorem.1 -functor: について 証明 1.について(2.も同様)・・・ 左辺から右辺: 右辺から左辺: Fubini theorem.2 証明 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (2.1)

Enriched adjunction

Hom-object adjunction -functor: (left adjoint) (right adjoint) および -natural isomorphism in : (adjoint iso) からなる代数的構造のこと。 Enriched representability - PS の命題により representation of の族: が存在すれば十分である。 命題 Hom-…

Identity natural transformation による functorial equality

命題 Natural transformation: について 証明

Weighted limit による enriched Yoneda lemma

Enriched Yoneda lemma with hom functors @deprecated -functor: について -natural in Enriched Yoneda lemma via weighted limits -functor: について -natural in 証明 Enriched Yoneda lemma - PS で特に とすると 証明 @deprecated Enriched Yoneda le…

"Extra"composition of enriched natural transformations

(とでも呼んでみる) 命題.1 -enriched infrafunctor: variables for について -(extra)natural-looking in all variables -(extra)natural-looking in all variables ならば -natural-looking in 証明 のときは、普通の vertical composition。 のときは、 …

Representability による limit

(これを一般化したものが Weighted limit - PS) Yoneda embedding bijection category: category of presheaves: について、Yoneda embedding: の各 component は、Yoneda bijection: となるのであった。 補題 上記の Yoneda bijection は、limiting cone を…

Enriched Yoneda embedding

Curry isomorphism 以下、Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の補題の isomorphic 1-functor: を使用する。 Enriched fully-faithful functor -isomorphism の族になっている -functor のこと。 Enriched Yoneda embedding これは Yoned…

Enriched Yoneda lemma

Flip bijection Curry bijection を二回重ねたもの(を勝手に): Enriched Yoneda lemma -functor: -object: について -natural in ただし、この -naturality は Enriched evaluation functor - PS Enriched end functor - PS により定義されるものとする。 証…

Enriched end

以下、 symmetric closed monoidal category: -functor: において・・・ Enriched wedge -extranatural な を -wedge to と呼ぶことにする。 1-category of enriched wedges -wedge to を 0-cell とする 1-category: を定義できる。 Wedge-set functor Hom func…

Enriched Yoneda lemma いろいろ (weak form)

Symmetric closed monoidal category において・・・ 命題.1 -functor: -morphism の族: について、Yoneda bijection: は についての -(extra)natural-lookingness を preserve する。 命題.2 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS で特に のとき 参考文献 B…

Preservation of enriched natural-lookingness

記法 以下、 (closed symmetric) monoidal category: -category: self-enriching において・・・ "Extra"composition により Vertical composition により -natural-lookingness は compose 可能であるが、-extranatural-lookingness も compose(的なもの)によ…

Enriched representability

Symmetric closed monoidal category において・・・ Enriched representation -functor: について、-natural isomorphism: なる を representation of という。*1 Unit Representation は Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS により (unit of the represe…

Universality

Uniqueness 命題 証明 選択公理より。 参考文献 Uniqueness quantification - Wikipedia, the free encyclopedia

Enriched Yoneda principle (weak form)

系 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の特に のとき Enriched Yoneda embedding (weak form) 上記の系で特に を identity -functor とすると となる。 Enriched Yoneda principle (weak form) 上記の対応は preserves iso: 証明 の -functoriality お…

Enriched Yoneda lemma (weak form)

1-category of enriched functors monoidal category: -category: について、-natural transformation を 1-cell とする 1-category は であった。 記法 命題 symmetric closed monoidal category: -category: -functor: -object: について しかも について …

Enriched naturality between n-ary functors

以下、symmetric monoidal category において・・・ Enriched functor の分解 Enriched bifunctoriality - PS の n-ary 版(特に 3-ary のとき)は以下のようになるのであった: これにより -functor をその partial application たちに分解できる: 並べ方も symme…

Self-enriched monoidal product

(と呼べるかな)(Tensor の略だと思うが名称不明・・・) Ten Symmetric closed monoidal category において、-functor: を次のように定義できる: 命題.1 命題.2 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

Enriched bifunctor lemma

命題 Symmetric monoidal category において、-functor の族: が および を満たすならば を満たすただ一つの -bifunctor: になる。 系 -functor が を満たすならば 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory Bifunctor lemma - PS

Self-enriched category

(と呼んでいいのかな) Closed monoidal category - PS の続き・・・ Self-enriched category Closed monoidal category*1: について -enriched category: *2 を次のようにして定義できる。 次の functoriality により、これは確かに -category になる。 Functor…

Closed monoidal category

Closed monoidal category Monoidal category が を満たすとき、closed monoidal category という。 任意の について natural bijection (curry bijection): が存在するような monoidal category のこと。 Internal hom bifunctor Adjunctions with paramete…

Yoneda principle

@deprecated 代わりに Fully-faithful functors in string diagrams - PS を参照。 Conservative functor Reflects iso な functor つまり を満たす functor のこと。 Fully faithful functor なる functor のこと。 命題 fully faithful functor -isomorphi…

Coherence theorem

Tree rotation Tree rotation - Wikipedia, the free encyclopedia を参照。 General associativity theorem General Associativity Theorem/Formulation 3 - ProofWiki を参照。 これにより、binary tree は tree rotation の繰り返しでどんな形にも変形で…

Kelly lemma

(と一般に呼ぶのかは分からない) Monoidal category について という要件は不要という命題。 補題 証明 Proving lemmas on monoidal categories in Todd Trimble を参照。 命題 証明 の naturality より は iso ゆえ triangle equality とより 補題とより は…

Adjunctions with parameters

命題 bifunctor: homset-adjunction の族: について は natural なる bifunctor: がただ一つ存在する。 証明 Conjugate - PS の命題と Bifunctor lemma - PS による。 参考文献 Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

Conjugate

Adjunction from to Adjunction: を便宜上 adjunction from to と呼ぶことにする: Conjugate Homset-adjunction from to : について を commute にする natural transformation のペア: を conjugate という。 命題 Adjunction from to : および natural tra…

Comonad からの monad

Lifted adjuncts Adjunction: について、Adjunction lifting - PS により natural bijection: が存在するのであった。 命題 上記の adjunction について が comonad: になっているならば は monad になる。 Dual が monad ならば は comonad。 参考文献 Mona…

Adjunction からの monad transformer

Adjunctionからのmonad - PS を一般化する。 Adjunction-associated monoidal functor (と呼んでいいと思う) Adjunction: について は monoidal functor: になる。 Monad sandwich Monoid lifting により functor: を作ることが出来る。 State monad transfo…

Relation lifting

Functorが絡んだときのparametricityの求め方。 以下、 において・・・ Image Relation Graph Relation lifting Endofunctor: に対応する、relation間のmapping*1を と定義する。 命題 特に、関数: に対応するrelation: について、 証明 *2 参考文献 Theorems f…

Hylomorphism

Algebraically compact category 任意のendofunctorのinitial algebraとterminal coalgebraが存在し、互いにinverseとなるcategoryのこと。 等がそうらしい。 命題 endofunctor: initial algebra: terminal coalgebra: algebra: coalgebra: について なる -m…

Fixed-point functor

命題 Initial algebraの族: について *1 なるfunctor: がただ一つ存在する。 証明 Fusion law vs. Parameterized algebra *2 参考文献 Theory and Practice of Fusion(pdf) *1:naturalityはevaluation functorによる *2:Initial algebras with parameters - …