記法 以下、 (closed symmetric) monoidal category: -category: self-enriching において･･･ "Extra"composition により Vertical composition により -natural-lookingness は compose 可能であるが、-extranatural-lookingness も compose(的なもの)によ…

Symmetric closed monoidal category において･･･ Enriched representation -functor: について、-natural isomorphism: なる を representation of という。*1 Unit Representation は Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS により (unit of the represe…

Uniqueness 命題 証明 選択公理より。 参考文献 Uniqueness quantification - Wikipedia, the free encyclopedia

系 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の特に のとき Enriched Yoneda embedding (weak form) 上記の系で特に を identity -functor とすると となる。 Enriched Yoneda principle (weak form) 上記の対応は preserves iso: 証明 の -functoriality お…

1-category of enriched functors monoidal category: -category: について、-natural transformation を 1-cell とする 1-category は であった。 記法 命題 symmetric closed monoidal category: -category: -functor: -object: について しかも について …

以下、symmetric monoidal category において･･･ Enriched functor の分解 Enriched bifunctoriality - PS の n-ary 版(特に 3-ary のとき)は以下のようになるのであった: これにより -functor をその partial application たちに分解できる: 並べ方も symme…

(と呼べるかな)(Tensor の略だと思うが名称不明･･･) Ten Symmetric closed monoidal category において、-functor: を次のように定義できる: 命題.1 命題.2 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

命題 Symmetric monoidal category において、-functor の族: が および を満たすならば を満たすただ一つの -bifunctor: になる。 系 -functor が を満たすならば 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory Bifunctor lemma - PS

(と呼んでいいのかな) Closed monoidal category - PS の続き･･･ Self-enriched category Closed monoidal category*1: について -enriched category: *2 を次のようにして定義できる。 次の functoriality により、これは確かに -category になる。 Functor…

Closed monoidal category Monoidal category が を満たすとき、closed monoidal category という。 任意の について natural bijection (curry bijection): が存在するような monoidal category のこと。 Internal hom bifunctor Adjunctions with paramete…

@deprecated 代わりに Fully-faithful functors in string diagrams - PS を参照。 Conservative functor Reflects iso な functor つまり を満たす functor のこと。 Fully faithful functor なる functor のこと。 命題 fully faithful functor -isomorphi…

Tree rotation Tree rotation - Wikipedia, the free encyclopedia を参照。 General associativity theorem General Associativity Theorem/Formulation 3 - ProofWiki を参照。 これにより、binary tree は tree rotation の繰り返しでどんな形にも変形で…

(と一般に呼ぶのかは分からない) Monoidal category について という要件は不要という命題。 補題 証明 Proving lemmas on monoidal categories in Todd Trimble を参照。 命題 証明 の naturality より は iso ゆえ triangle equality とより 補題とより は…

命題 bifunctor: homset-adjunction の族: について は natural なる bifunctor: がただ一つ存在する。 証明 Conjugate - PS の命題と Bifunctor lemma - PS による。 参考文献 Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

Adjunction from to Adjunction: を便宜上 adjunction from to と呼ぶことにする: Conjugate Homset-adjunction from to : について を commute にする natural transformation のペア: を conjugate という。 命題 Adjunction from to : および natural tra…

Lifted adjuncts Adjunction: について、Adjunction lifting - PS により natural bijection: が存在するのであった。 命題 上記の adjunction について が comonad: になっているならば は monad になる。 Dual が monad ならば は comonad。 参考文献 Mona…

Adjunctionからのmonad - PS を一般化する。 Adjunction-associated monoidal functor (と呼んでいいと思う) Adjunction: について は monoidal functor: になる。 Monad sandwich Monoid lifting により functor: を作ることが出来る。 State monad transfo…

Functorが絡んだときのparametricityの求め方。 以下、 において･･･ Image Relation Graph Relation lifting Endofunctor: に対応する、relation間のmapping*1を と定義する。 命題 特に、関数: に対応するrelation: について、 証明 *2 参考文献 Theorems f…

Algebraically compact category 任意のendofunctorのinitial algebraとterminal coalgebraが存在し、互いにinverseとなるcategoryのこと。 等がそうらしい。 命題 endofunctor: initial algebra: terminal coalgebra: algebra: coalgebra: について なる -m…

命題 Initial algebraの族: について *1 なるfunctor: がただ一つ存在する。 証明 Fusion law vs. Parameterized algebra *2 参考文献 Theory and Practice of Fusion(pdf) *1:naturalityはevaluation functorによる *2:Initial algebras with parameters - …

命題 endofunctor: forgetful functor: について、initial algebra: が存在するならば、そのcatamorphimの族: は、mediatorを とする limiting cone of になる: (fold/build fusion) 参考文献 Initial algebra semantics is enough

命題 functor: initial algebraの族: について なるfunctor: がただ一つ存在する。 証明 参考文献 thesis.pdf

Endofunctor: について･･･ Lambek's lemma Every initial algebra is an isomorphism: *1 系 initial algebra: -morphism: *2 について なる -morphism: がただ一つ存在する。 参考文献 art08_geuvers_poll.pdf initial algebra of an endofunctor in nLab *…

(Primitive recursive functionの圏論による表現) *1 命題 endofunctor: initial algebra: -morphism: について なる -morphism: (paramorphism) がただ一つ存在する。 証明 参考文献 art08_geuvers_poll.pdf *1:かえって分かりやすい(と思う)

Co-Yoneda lemma - PS を( dinaturality でなく普通の) naturality の世界で表現するとこうなるらしい。 Contravariant Yoneda embedding *1 命題 Every set-valued functor is a colimit of representables: functor: forgetful functor: について 具体的に…

(･･･なんて略語はたぶんない) 命題 Right Adjoints Preserve Right Kan extensions: adjunction: functor: functor: right Kan extension along : について、 も、right Kan extension along 。 証明 Adjunction lifting - PS(のpostcomposition版)により で…

Functor: について･･･ ある圏 三つ組: functor: functor: natural transformation: から同じく三つ組: functor: functor: natural transformation: へのmorphismを、 *1 を満たすfunctor: と定義すれば、categoryを成す(と思う)。 命題 Comma category: から…

Strong monad Monoidal category: について、もろもろのcoherence conditionを満たす monad: natural transformation: (strength) のペアのこと。 命題 monoidal category: monad: について、 とすれば、 はstrength。 証明 に注意する。 系 同様にして、Has…

命題 Haskell-monad: について、 とすると、 は、applicative。 系 monoidal category: monad: について、 とすると、 はmonoidal endofunctor on になる(と思う)。 参考文献 haskell - How to show that a monad is a functor and an applicative functor? …

(･･･とでも呼ぶことにする) Posetal powerset 任意の集合 について、objectを の部分集合、morphismを とするposetal category*1: を定義できる。 以下、任意の関数: について･･･ Direct(existential) image Inverse image Dual(universal) image とすると、…