PS

定義

Strong endofunctors in string diagrams rev.2

Open box の記法を使って Strong endofunctors in String diagrams - PS を更新。 Strength Naturality Coherence condition 参考文献 Comonadic Notions of Computation

1-natural transformations in string diagrams

("Open" functorial box - PS が便利なので描き方を更新) 1-category 1-functor 1-functorialilty 1-natural transformation 1-naturality 1-natural transformation @deprecated 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors a…

Lax functors in String diagrams

(・・・と言っても String diagram での monoidal functor - PS と見た目は同じ) Lax functor Bicategory: について、lax functor とは、 のトリプルで以下を満たすもの: Binary functor を bifunctor と呼んでしまったので bifunctor とは呼べなくなっている。…

Strong monads in String diagrams

Strong endofunctors in String diagrams - PS の続き・・・ Strong monad が strong functor であり、さらに monad: になっているとき、以下を満たすものを strong monad という: 参考文献 Strong monad - Wikipedia, the free encyclopedia

Strong endofunctors in String diagrams

以下、非常に怪しい・・・ Strong endofunctor Monoidal category において、strong endofunctor とは 1-endofunctor: 1-natural transformation: (strength) のペアで、もろもろの coherence 要件を満たすもの、であった。 Lax に対する strong と用語が被って…

Arrow fragments are monoids

以下、1-category において・・・ Monoidal category of endoprofunctors @ignore Bicategory of profunctors: で、特に profunctor の domain と codomain を 1-category に固定すると、monoidal category: を作れる。 Bicategory of 1-profunctors Arrow-frag…

Enriched profunctors

Symmetric closed monoidal category において・・・ Profunctor なる形の -erirched functor のことを と書き、-enriched profunctor と呼ぶことにする。 1-category of profunctors Horizontal composition of profunctors Profunctor: について とすると coe…

Enriched coend

Dual of... Enriched end - PS Enriched end functor - PS Preservation of ends - PS 以下、symmetric closed monoidal category において・・・ 定義: Coend -functor について 定義: Coend 1-functor 命題: Internal hom functors send coends to ends 証明 …

Enriched categories in String diagrams

In symmetric monoidal categories... -enriched category の composition は というカタチで定義されることになっているので か の二択になってしまうのだが、特に、 が symmetric のときは とすれば良かった。 currying がややこしくなってしまう。 参考文…

Equalizers in String diagrams

Fork 命題 Equalizer と にならって大文字と小文字でいいと思う。 参考文献 fork in nLab Equaliser (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia

Arrows in String diagrams

Arrow laws (・・・やっぱりつらいので左右逆にならないようにする) 以下、水平方向は考えないで、垂直方向のみ 1-category の composition とする。 メモ 「1.」と「 2.」は の functoriality。 「6.」は の についての extranaturality。 ただし、naturality …

Free monads in String diagrams

(・・・というのは少し嘘かもしれない) Catamorphisms Free monad - PS の より・・・ Free monad 参考文献 Haskell for all: Why free monads matter Control.Monad.Free

Traced monoidal category

再帰の圏論的表現。 Right trace Monoidal category において、natural transformation*1: で、もろもろの coherence 要件を満たすもの。その要件により right trace を次のように描ける: Right trace を持つ monoidal cateogry を right traced monoidal ca…

Traversable functors in String diagrams

Identity functor Constant functor Traversable functor Traversable functor laws Traversable functor - PS より・・・ foldMap/foldr 参考文献 Foldable and Traversable - Jakub Arnold Blog

Applicative functors in String diagrams

@deprecated 代わりに Applicative functors in string diagrams rev.2 - PS を参照。 以下、curry/uncurry したものは区別にしないことにする。 (右足を上げたり下げたりするだけ) Applicative functor Applicative functor laws Monoidal functors via app…

Identity monads in String diagrams

Identity monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

List monads in String diagrams

Concatenation List monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Error monads in String diagrams

Error monad Maybe monad の を にしただけ。 throw/catch 参考文献 All About Monads - HaskellWiki haskell - Is there no standard (Either a) monad instance? - Stack Overflow

Maybe monads in String diagrams

Universality of coproducts Merge morphism Initializing morphism (とはたぶん言わない) Monoidal category with finite coproducts Cocartesian monoidal category ともいう。 命題 Maybe monad 参考文献 [1401.7220] Category Theory Using String Diagr…

Continuation monads in String diagrams

Evaluation Continuation monad Flip bijection を使って・・・ callCC ・・・かえって分かりにくい。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Writer monads in String diagrams

Writer monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Reader monads in String diagrams

@deprecated 代わりに Reader monad transformers in string diagrams - PS を参照。 Constant morphism Reader monad を たちにばらまいている。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

State monads in String diagrams

Monoidal category にて・・・ Diagonal morphism Naturality Terminating morphism (とはたぶん呼ばない) Naturality これらは、より一般には cartesian monoidal category のときに作れる。 State monad get/put 参考文献 [1203.0202] Pictures of Processes:…

Conical limits in enriched categories

定義: 1-limits 1-functor: 命題: 1-limits via weighted limits 証明 Representability による limit - PS による。 による。 命題 1-functor: 1-category: -category: について、Free enriched category - PS による 2-adjunction: を使うと -natural in …

Preservation of ends

(の定義が抜けていたので・・・) Preservation of ends -functor: および -end: について が -end となること。 記法 命題: Internal hom functors preserve ends (と呼ぶのが良さそう) 証明 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

(Co)ends in enriched categories

End 特に、 のとき、 preserves ends より記号に矛盾は無い。 Coend 命題: (Co)ends via weighted (co)limits existence-compatible 証明 命題: (Co)powers preserve (co)ends ただし、preservation of ends は (Co)ends via weighted (co)limits を通して P…

(Co)power

Constant enriched functor Unit category からの constant functor を と定義できる。 命題 Unlambda は iso。 証明 Power 上記の命題により、constant -functor の weighted limit と existence-compatible: 特に のとき、flip iso により記号に矛盾はない…

Free enriched category

Free enriched category 1-category について -category: を Unit-copower monoidal functor - PS を使って次のように定義できる。 これは monoidal functoriality により確かに -category になる。 Enriching 2-functor 上記と同様にして Unit-copower mono…

Enriched Kan extension

以下、Lambda 記法 - PS を使う。 Right Kan extension -functor: について、要件: 任意の -functor: について を満たす -functor: -natural transformation: のペアのことを right kan extension of along といい、特に を(一つ選んで) *1 と書く。また、 …

Lambda 記法

やっぱり lambda 記法の方が読みやすい。*1 Lambda 記法 と書くことにする*2と、例えば Pointwise weighted limits - PS は となって覚えやすい(と思う)。 と も区別しなくてよくなる。 Unlambda (Evaluation) 特に、Enriched functor category - PS で使っ…

Enriched isomorphism まとめ

記法 *1 *2 Ends Fubini Yoneda bijections (Co)representations Yoneda Limits Colimits Limits in self-enriched categories Yoneda via (co)limits Fubini via (co)limits Powers Copowers Continuity in weights Ends in enriched categories Coends in …

Limit-cylinder

Weighted limit の limiting-cone 的なもの。 記法.1 @deprecated 以下、Currying の記法 を使って とする。 記法.1' 以下、Lambda 記法 - PS を使って とする。 Cylinder -morphism: のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により -natural…

Weighted colimit

Opposite category の記法 @deprecated とすると は functorial にならないことに注意する。 以下、この記法により variance を明示する。 Weighted limit @deprecated Weighted colimit @deprecated Commutativity Symmetricity of weighted colimits 証明 …

Preservation of weighted limits

Preservation of weighted limits -enriched functor: について、-weighted limit of が存在するとき、その counit を とすると が iso になっているとき preserves the limit と言う。 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (3.2)

Weighted limit

Weighted limit -enriched functor: (weight) について、representation of : -natural in を -weighted limit of といい 等々で表す。 Counit 上記の representation は Yoneda bijection により、-morphism: に対応する。さらにこれは end bijection(Enric…

String diagram での monoidal functor

@deprecated 代わりに Monoidal natural transformations in string diagrams - PS を参照。 Monoidal functor Monoidal category: について、monoidal functor: とは 1-functor: 1-natural transformation: -morphism: からなる代数的構造で、もろもろの co…

Exponentiation 2-functor on enriched categories

(と呼ぶくらいしか思いつかない) 補題: Close(curry) isomorphisms 命題 Evaluation -functor の族: は 2-functor: を create する。 証明 Yoneda bijection により となるが、 についての -naturality つまり 2-naturality は preserve される*1ので、あと…

Enriched evaluation functor

Enriched evaluation functor -functor category: について、-functor: を次のように定義できる: これは Enriched natural-lookingness - PS の命題(bifunctor版) により確かに -functorial。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

Enriched end functor

Symmetric closed monoidal category において・・・ Enriched end 1-functor Ending -wedge の族: が存在するならば、1-functor を次のように定義できる: 系 *1 命題 -functor: について、ending -wedge の族: が存在するならば -natural-looking in なる -inf…

Enriched functor category

Enriched functor category symmetric closed monoidal category: -category: において、ending -wedge の族: *1 が存在するとき、-category of -functors: を次のように定義できる: 次の命題により、これは確かに -category となる。 命題 上記の end bijec…

Infrastructure

Infranatural transformation という便利そうな用語を発見したので・・・ Infranatural transformation Natural transformation から naturality 要件を除いたもの。要はただの族。 これを transformation と呼ぶ場合もある*1一方、natural transformation(的な…

Enriched end

以下、 symmetric closed monoidal category: -functor: において・・・ Enriched wedge -extranatural な を -wedge to と呼ぶことにする。 1-category of enriched wedges -wedge to を 0-cell とする 1-category: を定義できる。 Wedge-set functor Hom func…

Enriched natural-lookingness

(という概念が必要かもしれない) 動機 Naturality は functorがないと定義されないが、functoriality とは直交した概念である(と思う)。 Composition compatibility Enriched functoriality とは composition compatibility identity(unit) compatibility の…

Self-enriching

(と呼んでいい気がする) Self-enriching Closed symmetric monoidal category: について、Self-enriched category - PS の命題.1により となるのであったが、特にこの currying を self-enriching と勝手に呼ぶことにする。 Functoriality of self-enriching…

Enriched extranaturality

Enriched extranaturality symmetric monoidal category: -functor: および -morphism の族: について、-extranaturality とは を満たすこと。 の場合も同様(図を反転する)。 Enriched (co)wedge 上記のような をそれぞれ -wedge、-cowedge と言う(言えると…

Self-enriched monoidal product

(と呼べるかな)(Tensor の略だと思うが名称不明・・・) Ten Symmetric closed monoidal category において、-functor: を次のように定義できる: 命題.1 命題.2 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

Enriched hom functor

(あるいは hom enriched functor かも) Enriched difunctor なる形の -bifunctor のこと(を個人的に)。 Enriched hom difunctor closed symmetric monoidal category: -category: について、hom -difunctor: *1 を次のように定義できる: Underlying 1-difunc…

Enriched bifunctoriality

Enriched bifunctoriality symmetric monoidal category -functor について、その -functoriality とは、以下が成立することであった。 Partial application of enriched bifunctors 上記の および について、-functor: を次のように定義できる: 同様に につ…

Monoidal product of enriched categories

Unit enriched category Monoidal category について unit -category: を次のように定義できる: *1 Monoidal product of enriched categories symmetric monoidal category: -category: について、-category: を次のように定義できる: Monoidal product of e…

Opposite enriched category

Opposite enriched category symmeric monoidal category: -category: について、opposite -category: を次のように定義できる: Opposite enriched functor -functor について、opposite -functor: を次のように定義できる: Opposite enriched natural trans…