定義
記法 *1 *2 Ends Fubini Yoneda bijections (Co)representations Yoneda Limits Colimits Limits in self-enriched categories Yoneda via (co)limits Fubini via (co)limits Powers Copowers Continuity in weights Ends in enriched categories Coends in …
Weighted limit の limiting-cone 的なもの。 記法.1 @deprecated 以下、Currying の記法 を使って とする。 記法.1' 以下、Lambda 記法 - PS を使って とする。 Cylinder -morphism: のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により -natural…
Opposite category の記法 @deprecated とすると は functorial にならないことに注意する。 以下、この記法により variance を明示する。 Weighted limit @deprecated Weighted colimit @deprecated Commutativity Symmetricity of weighted colimits 証明 …
Preservation of weighted limits -enriched functor: について、-weighted limit of が存在するとき、その counit を とすると が iso になっているとき preserves the limit と言う。 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (3.2)
Weighted limit -enriched functor: (weight) について、representation of : -natural in を -weighted limit of といい 等々で表す。 Counit 上記の representation は Yoneda bijection により、-morphism: に対応する。さらにこれは end bijection(Enric…
@deprecated 代わりに Monoidal natural transformations in string diagrams - PS を参照。 Monoidal functor Monoidal category: について、monoidal functor: とは 1-functor: 1-natural transformation: -morphism: からなる代数的構造で、もろもろの co…
(と呼ぶくらいしか思いつかない) 補題: Close(curry) isomorphisms 命題 Evaluation -functor の族: は 2-functor: を create する。 証明 Yoneda bijection により となるが、 についての -naturality つまり 2-naturality は preserve される*1ので、あと…
Enriched evaluation functor -functor category: について、-functor: を次のように定義できる: これは Enriched natural-lookingness - PS の命題(bifunctor版) により確かに -functorial。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory
Symmetric closed monoidal category において･･･ Enriched end 1-functor Ending -wedge の族: が存在するならば、1-functor を次のように定義できる: 系 *1 命題 -functor: について、ending -wedge の族: が存在するならば -natural-looking in なる -inf…
Enriched functor category symmetric closed monoidal category: -category: において、ending -wedge の族: *1 が存在するとき、-category of -functors: を次のように定義できる: 次の命題により、これは確かに -category となる。 命題 上記の end bijec…
Infranatural transformation という便利そうな用語を発見したので･･･ Infranatural transformation Natural transformation から naturality 要件を除いたもの。要はただの族。 これを transformation と呼ぶ場合もある*1一方、natural transformation(的な…
以下、 symmetric closed monoidal category: -functor: において･･･ Enriched wedge -extranatural な を -wedge to と呼ぶことにする。 1-category of enriched wedges -wedge to を 0-cell とする 1-category: を定義できる。 Wedge-set functor Hom func…
(という概念が必要かもしれない) 動機 Naturality は functorがないと定義されないが、functoriality とは直交した概念である(と思う)。 Composition compatibility Enriched functoriality とは composition compatibility identity(unit) compatibility の…
(と呼んでいい気がする) Self-enriching Closed symmetric monoidal category: について、Self-enriched category - PS の命題.1により となるのであったが、特にこの currying を self-enriching と勝手に呼ぶことにする。 Functoriality of self-enriching…
Enriched extranaturality symmetric monoidal category: -functor: および -morphism の族: について、-extranaturality とは を満たすこと。 の場合も同様(図を反転する)。 Enriched (co)wedge 上記のような をそれぞれ -wedge、-cowedge と言う(言えると…
(と呼べるかな)(Tensor の略だと思うが名称不明･･･) Ten Symmetric closed monoidal category において、-functor: を次のように定義できる: 命題.1 命題.2 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory
(あるいは hom enriched functor かも) Enriched difunctor なる形の -bifunctor のこと(を個人的に)。 Enriched hom difunctor closed symmetric monoidal category: -category: について、hom -difunctor: *1 を次のように定義できる: Underlying 1-difunc…
Enriched bifunctoriality symmetric monoidal category -functor について、その -functoriality とは、以下が成立することであった。 Partial application of enriched bifunctors 上記の および について、-functor: を次のように定義できる: 同様に につ…
Unit enriched category Monoidal category について unit -category: を次のように定義できる: *1 Monoidal product of enriched categories symmetric monoidal category: -category: について、-category: を次のように定義できる: Monoidal product of e…
Opposite enriched category symmeric monoidal category: -category: について、opposite -category: を次のように定義できる: Opposite enriched functor -functor について、opposite -functor: を次のように定義できる: Opposite enriched natural trans…
Enriched natural transformation monoidal category: -functor: について -natural transformation: とは、-morphism の族: で -naturality: を満たすもの。 Identity enriched natural transformation -functor について identity -natural transformation…
Symmetry Monoidal category において symmetry とは natural isomorphism: で、もろもろの coherence axiom を満たすもの。 Symmetric monoidal category Symmetry を持つ monoidal category のこと。 Permutative category Symmetry を持つ strict monoida…
Enriched functor -category について、-functor: とは、-morphism の族: で、-functoriality: を満たすもの(添字略)。 Identity enriched functor -category について identity -functor: を次のように定義できる: Composite enriched functor -functor: に…
(と呼んでいいのかな) Closed monoidal category - PS の続き･･･ Self-enriched category Closed monoidal category*1: について -enriched category: *2 を次のようにして定義できる。 次の functoriality により、これは確かに -category になる。 Functor…
Closed monoidal category Monoidal category が を満たすとき、closed monoidal category という。 任意の について natural bijection (curry bijection): が存在するような monoidal category のこと。 Internal hom bifunctor Adjunctions with paramete…
Enriched category Monoidal category について -category とは 集合: -object の族: -morphism の族: -morphism の族: から成る代数的構造で、もろもろの coherence axiom を満たすもの。 String diagram にて ひもの左右にタグが付いている 二本のひもが束…
圏論に必須かもしれない string diagram についての補足メモ String diagram Natural transformation(より一般には 2-category - PS の 2-cell) を平面上の線上の点で表す。Naturality 関連の等式が自明になる。 図の上下も左右も向きも文献によりまちまち･･…
記法 2-category: について と書くことにする。 2-category laws n-Category - PS の定義により (associativity) (left unitality) (right unitality) さらに、 の Bifunctoriality - PS より (interchange) (sliding) が成立する。 2-category of small cat…
Adjunction from to Adjunction: を便宜上 adjunction from to と呼ぶことにする: Conjugate Homset-adjunction from to : について を commute にする natural transformation のペア: を conjugate という。 命題 Adjunction from to : および natural tra…
0-category 集合のこと。その要素を object と言うことにする。 0-funtor 関数のこと。 n-category 再帰的に定義する。-category とは class: (objects) -category の族: -functor の族: (composition) -functor の族: (units) からなる代数的構造で (associ…
