PS

Enriched

Enriched profunctors

Symmetric closed monoidal category において・・・ Profunctor なる形の -erirched functor のことを と書き、-enriched profunctor と呼ぶことにする。 1-category of profunctors Horizontal composition of profunctors Profunctor: について とすると coe…

Enriched co-Yoneda isomorphisms

(こちらもやっておくのが筋だろうということで) Symmetric closed monoidal category において・・・ 命題: Yoneda isomorphisms via coends 証明 Yoneda isomorphsim の flip を curry に変えるだけ: 参考文献 end in nLab Co-Yoneda lemma - PS

Coproduct と coequalizer からの coend

命題 Coproduct と coequalizer から coend が作れる。 証明 -enriched functor: について とすると は coending cowedge になる。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory end in nLab

Enriched coend

Dual of... Enriched end - PS Enriched end functor - PS Preservation of ends - PS 以下、symmetric closed monoidal category において・・・ 定義: Coend -functor について 定義: Coend 1-functor 命題: Internal hom functors send coends to ends 証明 …

Enriched categories in String diagrams

In symmetric monoidal categories... -enriched category の composition は というカタチで定義されることになっているので か の二択になってしまうのだが、特に、 が symmetric のときは とすれば良かった。 currying がややこしくなってしまう。 参考文…

Enriched Yoneda lemma in string diagrams

(ふとひらめいたが役に立つかは分からない) Uncurried Functoriality A naturality Yoneda bijection 記法 命題 円周上で の functoriality や の naturality を使っても矛盾がない・・・というのが Yoneda lemma? 参考文献 [0908.3347] A survey of graphical…

Traversable functors in String diagrams

Identity functor Constant functor Traversable functor Traversable functor laws Traversable functor - PS より・・・ foldMap/foldr 参考文献 Foldable and Traversable - Jakub Arnold Blog

Applicative functors in String diagrams

@deprecated 代わりに Applicative functors in string diagrams rev.2 - PS を参照。 以下、curry/uncurry したものは区別にしないことにする。 (右足を上げたり下げたりするだけ) Applicative functor Applicative functor laws Monoidal functors via app…

Identity monads in String diagrams

Identity monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

List monads in String diagrams

Concatenation List monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Error monads in String diagrams

Error monad Maybe monad の を にしただけ。 throw/catch 参考文献 All About Monads - HaskellWiki haskell - Is there no standard (Either a) monad instance? - Stack Overflow

Maybe monads in String diagrams

Universality of coproducts Merge morphism Initializing morphism (とはたぶん言わない) Monoidal category with finite coproducts Cocartesian monoidal category ともいう。 命題 Maybe monad 参考文献 [1401.7220] Category Theory Using String Diagr…

Continuation monads in String diagrams

Evaluation Continuation monad Flip bijection を使って・・・ callCC ・・・かえって分かりにくい。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Writer monads in String diagrams

Writer monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Reader monads in String diagrams

@deprecated 代わりに Reader monad transformers in string diagrams - PS を参照。 Constant morphism Reader monad を たちにばらまいている。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Haskell-monads in String diagrams

@deprecated 代わりに Haskell-monads in string diagrams rev.2 - PS を参照。 Monoidal category にて・・・ Haskell-monad の flip 版を使った方が分かりやすいみたい。*1 Haskell-monad laws Kleisli composition Haskell-monad @deprecated Haskell-monad …

Basic Concepts of Enriched Category Theory

Basic Concepts of Enriched Category Theory というすごい本についての感想と補足・・・ 動機 Category Theory (Oxford Logic Guides) を読んでも Coyoneda らしきものが出てこない。 予備知識 Monoidal category の coherence 要件が(凡人には)複雑すぎて遅か…

Enriched hom functors preserve weighted limits

命題: Limits in 証明 実装 補題: A reduction of limits in 命題: Hom functors preserve limits (Limits via limits in ) 証明 および、補題により確かに Preservation of weighted limits - PS の形になる。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category…

Enriched Kan adjoints

定義: Precomposition functor Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の を使って、 命題 Left Kan extension: について -natural in しかも、この representation の unit は 。 証明 参考文献の通り(に計算する)。 系: Kan adjoints Left…

Conical limits in enriched categories

定義: 1-limits 1-functor: 命題: 1-limits via weighted limits 証明 Representability による limit - PS による。 による。 命題 1-functor: 1-category: -category: について、Free enriched category - PS による 2-adjunction: を使うと -natural in …

Preservation of ends

(の定義が抜けていたので・・・) Preservation of ends -functor: および -end: について が -end となること。 記法 命題: Internal hom functors preserve ends (と呼ぶのが良さそう) 証明 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

Naturality of Yoneda bijections

1-naturality of Yoneda bijections についての 1-naturality*1: 特に のときは 系 つまり で、かつ iso ならば iso 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory *1:comma category 間の 1-functoriality でもある

(Co)ends in enriched categories

End 特に、 のとき、 preserves ends より記号に矛盾は無い。 Coend 命題: (Co)ends via weighted (co)limits existence-compatible 証明 命題: (Co)powers preserve (co)ends ただし、preservation of ends は (Co)ends via weighted (co)limits を通して P…

(Co)power

Constant enriched functor Unit category からの constant functor を と定義できる。 命題 Unlambda は iso。 証明 Power 上記の命題により、constant -functor の weighted limit と existence-compatible: 特に のとき、flip iso により記号に矛盾はない…

Free enriched category

Free enriched category 1-category について -category: を Unit-copower monoidal functor - PS を使って次のように定義できる。 これは monoidal functoriality により確かに -category になる。 Enriching 2-functor 上記と同様にして Unit-copower mono…

Enriched Kan extension

以下、Lambda 記法 - PS を使う。 Right Kan extension -functor: について、要件: 任意の -functor: について を満たす -functor: -natural transformation: のペアのことを right kan extension of along といい、特に を(一つ選んで) *1 と書く。また、 …

Lambda 記法

やっぱり lambda 記法の方が読みやすい。*1 Lambda 記法 と書くことにする*2と、例えば Pointwise weighted limits - PS は となって覚えやすい(と思う)。 と も区別しなくてよくなる。 Unlambda (Evaluation) 特に、Enriched functor category - PS で使っ…

Enriched isomorphism まとめ

記法 *1 *2 Ends Fubini Yoneda bijections (Co)representations Yoneda Limits Colimits Limits in self-enriched categories Yoneda via (co)limits Fubini via (co)limits Powers Copowers Continuity in weights Ends in enriched categories Coends in …

Limit-cylinder

Weighted limit の limiting-cone 的なもの。 記法.1 @deprecated 以下、Currying の記法 を使って とする。 記法.1' 以下、Lambda 記法 - PS を使って とする。 Cylinder -morphism: のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により -natural…

Weighted limits of representations

記法 Representation について と書くことにする。定義により 命題 -functor: について ならば preserves the 記法 証明 まず、Enriched representability - PS の命題より右辺は well-formed。 これを計算すると確かに Preservation of weighted limits - P…

Fubini theorem in weighted limits

記法.1 @deprecated と(勝手に)書くことにする。詳しくは Monoidal product of enriched categories - PS Self-enriched monoidal product - PS を使って 記法.2 命題 証明 系 Dual 証明 @deprecated 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (…

Every presheaf is a colimit of representables

以下、Lambda 記法 - PS の記法を使う。 Pointwise weighted limits Pointwise weighted limits - PS より: Pointwise weighted colimits (怪しい)証明 @deprecated @deprecated Contravariant Yoneda embedding @deprecated 命題 証明 具体的には、以下の二…

Weighted colimit

Opposite category の記法 @deprecated とすると は functorial にならないことに注意する。 以下、この記法により variance を明示する。 Weighted limit @deprecated Weighted colimit @deprecated Commutativity Symmetricity of weighted colimits 証明 …

Pointwise weighted limits

Currying の記法 @deprecated -functor: について、curry isomorphism により対応する -functor: を と書くことに(勝手に)する。 Lambda 記法 Lambda 記法 - PS を参照。 命題 -functor: について、weighted limit の族: が存在するならば (右辺は Enriched …

Fubini theorems via ends

Fubini theorem.1 -functor: について 証明 1.について(2.も同様)・・・ 左辺から右辺: 右辺から左辺: Fubini theorem.2 証明 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (2.1)

Enriched RAPL

Weighted limits in self-enriched categories Weighted limit による enriched Yoneda lemma - PS の命題より となるのであった。 HPL (という略語は見たことがない) enriched Hom functors Preserve weighted Limits: (Enriched hom functors preserve wei…

Enriched adjunction

Hom-object adjunction -functor: (left adjoint) (right adjoint) および -natural isomorphism in : (adjoint iso) からなる代数的構造のこと。 Enriched representability - PS の命題により representation of の族: が存在すれば十分である。 命題 Hom-…

Preservation of weighted limits

Preservation of weighted limits -enriched functor: について、-weighted limit of が存在するとき、その counit を とすると が iso になっているとき preserves the limit と言う。 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (3.2)

Weighted limit による enriched Yoneda lemma

Enriched Yoneda lemma with hom functors @deprecated -functor: について -natural in Enriched Yoneda lemma via weighted limits -functor: について -natural in 証明 Enriched Yoneda lemma - PS で特に とすると 証明 @deprecated Enriched Yoneda le…

Weighted limit

Weighted limit -enriched functor: (weight) について、representation of : -natural in を -weighted limit of といい 等々で表す。 Counit 上記の representation は Yoneda bijection により、-morphism: に対応する。さらにこれは end bijection(Enric…

"Extra"composition of enriched natural transformations

(とでも呼んでみる) 命題.1 -enriched infrafunctor: variables for について -(extra)natural-looking in all variables -(extra)natural-looking in all variables ならば -natural-looking in 証明 のときは、普通の vertical composition。 のときは、 …

Enriched Yoneda embedding

Curry isomorphism 以下、Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の補題の isomorphic 1-functor: を使用する。 Enriched fully-faithful functor -isomorphism の族になっている -functor のこと。 Enriched Yoneda embedding これは Yoned…

Enriched Yoneda lemma

Flip bijection Curry bijection を二回重ねたもの(を勝手に): Enriched Yoneda lemma -functor: -object: について -natural in ただし、この -naturality は Enriched evaluation functor - PS Enriched end functor - PS により定義されるものとする。 証…

Exponentiation 2-functor on enriched categories

(と呼ぶくらいしか思いつかない) 補題: Close(curry) isomorphisms 命題 Evaluation -functor の族: は 2-functor: を create する。 証明 Yoneda bijection により となるが、 についての -naturality つまり 2-naturality は preserve される*1ので、あと…

Enriched evaluation functor

Enriched evaluation functor -functor category: について、-functor: を次のように定義できる: これは Enriched natural-lookingness - PS の命題(bifunctor版) により確かに -functorial。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

Enriched end functor

Symmetric closed monoidal category において・・・ Enriched end 1-functor Ending -wedge の族: が存在するならば、1-functor を次のように定義できる: 系 *1 命題 -functor: について、ending -wedge の族: が存在するならば -natural-looking in なる -inf…

Enriched functor category

Enriched functor category symmetric closed monoidal category: -category: において、ending -wedge の族: *1 が存在するとき、-category of -functors: を次のように定義できる: 次の命題により、これは確かに -category となる。 命題 上記の end bijec…

Enriched end

以下、 symmetric closed monoidal category: -functor: において・・・ Enriched wedge -extranatural な を -wedge to と呼ぶことにする。 1-category of enriched wedges -wedge to を 0-cell とする 1-category: を定義できる。 Wedge-set functor Hom func…

Enriched Yoneda lemma いろいろ (weak form)

Symmetric closed monoidal category において・・・ 命題.1 -functor: -morphism の族: について、Yoneda bijection: は についての -(extra)natural-lookingness を preserve する。 命題.2 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS で特に のとき 参考文献 B…

Preservation of enriched natural-lookingness

記法 以下、 (closed symmetric) monoidal category: -category: self-enriching において・・・ "Extra"composition により Vertical composition により -natural-lookingness は compose 可能であるが、-extranatural-lookingness も compose(的なもの)によ…