Limits in string diagrams - PS の記法を(無理やり)使って･･･ Hom functors 命題.1: Hom functors preverse limits : limiting cone : limiting cone 証明 @error 一般に currying はできない。代わりに String diagram による圏論まとめ - PS を参照。 Cur…

命題: Right adjoints preserve limits : limiting cone : limiting cone 証明 Limits in string diagrams - PS の記法を使って Yoneda は要らなかった。 参考文献 圏と関手入門.pdf category theory - Right adjoints preserve limits - Mathematics Stack …

(ふとひらめいた) Cones うまい絵が思いつかないが･･･: Naturality Limits 空の筒を limit と定義する*1: Universality により Limit functors 参考文献 圏と関手入門.pdf *1: はどうなるんだという話になるが･･･

定義: 1-limits 1-functor: 命題: 1-limits via weighted limits 証明 Representability による limit - PS による。 による。 命題 1-functor: 1-category: -category: について、Free enriched category - PS による 2-adjunction: を使うと -natural in …

@deprecated 代わりに RAPL in string diagrams - PS を参照。 記法.1 の limiting cone を それへの mediator を と書いてしまうことにする。 記法.2 命題 Right Adjoints Preserve Limits: adjunction について ならば 証明.1 よって Universality - PS よ…

Co-Yoneda lemma - PS を( dinaturality でなく普通の) naturality の世界で表現するとこうなるらしい。 Contravariant Yoneda embedding *1 命題 Every set-valued functor is a colimit of representables: functor: forgetful functor: について 具体的に…

Power をlocally small categoryとする。 について、constant functor: *1 のlimit、つまりproduct: を、power of といい、 等々と書く。そのprojectionは、 のようなmorphism族である。 Natural bijectionによる表現 Power projectionは-terminal morphism…

以下、Limits for free - PSのdual。 Cocones for free Functor のcoproduct: について、function: を のcocone for freeと勝手に呼ぶことにする。 これは、以下のcategoryにより のcoconeと本質的に等しい。 Cocone category for free なる をcocone for fr…

以下、category と (的なもの) にて、free naturalityが成立するとする。 Cones for free Functor のproduct: について、function: を のcone for freeと勝手に呼ぶことにする。 これは、以下のcategoryにより のconeと本質的に等しい。 Cone category for f…

Arrow category Arrow category とは、comma category: のことであった。 Twisted arrow category 任意のcategory について、morphismの向きを逆にするfunctor: を使ったcomma category: のことを、twisted arrow categoryと呼び、 と書くことにする。 さら…

命題 Functor: について、disjoint union: 上のbinary relation: を含む最小のequivalence relation を使って、 *1 とすると、 は、colimiting coconeになる。 参考文献 limits and colimits by example in nLab Equivalence class - PS Limits in sets - PS…

命題 Category: へのsmall diagram: について、 をそれぞれproductとする。ここで、 なる へのmediator のequalizer を採れば、 はlimiting coneになる。 証明 がそれぞれmono-sourceであることに注意する。 参考文献 The Existence Theorem for Limits « Th…

命題 Functor: について、limiting coneの族: が存在するならば、 となるようなfunctor: を一意に作ることが出来る。さらにこのとき、 は、limiting cone: になっている。 記法 参考文献 Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathe…

記法 Functor へのconeの集合を とし、limiting coneの集合を とする。 Whiskering function (という用語はないかもしれないが･･･) Functor: について、関数: *1 を定義できる。 Creation of limits creates のとき、 creates limits for という。 Preservat…

命題 Domainがsmallなfunctor: について、singleton setから へのconeの集合を とすると なる関数族: は、 のlimiting coneになっている: Products 特に、 がdiscreteのときは、coneのnaturalityがtrivialなので となり、確かにproductになっている。 参考文…

@deprecated 替わりにPointwise construction of adjoints - PSを参照。 Limit functor Functor のlimiting coneを、diagonal functor を使って と書くとすると、limit functor: *1 を定義できる: この定義のもと、 はnaturalであるので、これをcounitとすれ…

Preservation of limits Functor: とする。 任意のlimiting cone: について、 とのwhiskering: がlimiting coneになるとき、 preserves limits of という。 記法 参考文献 preserved limit in nLab Limit (category theory) - Wikipedia, the free encyclope…

Equivalence relation Reflexiveかつsymmetricかつtransitiveなbinary relationのこと。 Trivial equivalence relation は、equivalence relation on 。 Equivalence class Equivalence relation on : について、 を、equivalence class of modulo といい、 …

Pullback Productは、diagram: のlimitだったが、それにちょっと加えたdiagram: のlimitを と のpullbackという。 参考文献 isbn:0262660717

Equalizer Diagram: のlimitを と のequalizerという。Coneのnaturalityが を表している。 命題 参考文献 equalizer in nLab

(定義に再び挑戦･･･) Terminal object Category について、terminal object: とは、以下を満たす -object のこと。 (universality) このただ一つ存在する を (mediating morphism) で参照することにする。 Terminal objectはunique up to isomorphismなので…