PS

Monad

Reader monad transformers in string diagrams

(図にしてみれば怖くない・・・かも) Reader monad transformers Reader monads 上図の太枠を取り除いたもの。 参考文献 transformers: Concrete functor and monad transformers | Hackage scala - Is it just a coincidence that Kleisli, ReaderT, and Reade…

Haskell-monads in string diagrams rev.2

(・・・といっても Monads in string diagrams - PS にするしかなさそう) Haskell-monads To monads とすると 参考文献 Haskell-monad - PS

Monad algebras in string diagrams

Monad algebra Coherence 参考文献 Comonadic Notions of Computation Eilenberg-Moore adjunction - PS

Kleisli categories in string diagrams

Monads in string diagrams - PS の記法を使って・・・ Kleisli category Morphism Composition Kleisli adjunction 参考文献 Comonadic Notions of Computation Kleisli adjunction - PS

Strong monads in string diagrams rev.2

(Strong monads in String diagrams - PS を更新) Strong monad Strong endofunctors in string diagrams rev.2 - PS Monads in string diagrams - PS で以下を満たすもの: Coherence (これは合っている気がする) 参考文献 Comonadic Notions of Computation

Monads in string diagrams

(こうなんじゃないかなあ・・・) Monad Coherence Monad @deprecated (箱の添字 は省略) Coherence @deprecated 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors and Monads.pdf

Arrows are strong promonads

Arrow Arrow-fragment に を加えたもの。 命題 Arrow と strong promonad は同値。 証明 ・・・は終わりそうもないが対応はたぶんこう: (symmetry は省略) 参考文献 Arrows are Strong Monads.pdf

Strong monads in String diagrams

Strong endofunctors in String diagrams - PS の続き・・・ Strong monad が strong functor であり、さらに monad: になっているとき、以下を満たすものを strong monad という: 参考文献 Strong monad - Wikipedia, the free encyclopedia

Free monads in String diagrams

(・・・というのは少し嘘かもしれない) Catamorphisms Free monad - PS の より・・・ Free monad 参考文献 Haskell for all: Why free monads matter Control.Monad.Free

Identity monads in String diagrams

Identity monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

List monads in String diagrams

Concatenation List monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Error monads in String diagrams

Error monad Maybe monad の を にしただけ。 throw/catch 参考文献 All About Monads - HaskellWiki haskell - Is there no standard (Either a) monad instance? - Stack Overflow

Maybe monads in String diagrams

Universality of coproducts Merge morphism Initializing morphism (とはたぶん言わない) Monoidal category with finite coproducts Cocartesian monoidal category ともいう。 命題 Maybe monad 参考文献 [1401.7220] Category Theory Using String Diagr…

Continuation monads in String diagrams

Evaluation Continuation monad Flip bijection を使って・・・ callCC ・・・かえって分かりにくい。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Writer monads in String diagrams

Writer monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Reader monads in String diagrams

@deprecated 代わりに Reader monad transformers in string diagrams - PS を参照。 Constant morphism Reader monad を たちにばらまいている。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

State monads in String diagrams

Monoidal category にて・・・ Diagonal morphism Naturality Terminating morphism (とはたぶん呼ばない) Naturality これらは、より一般には cartesian monoidal category のときに作れる。 State monad get/put 参考文献 [1203.0202] Pictures of Processes:…

Haskell-monads in String diagrams

@deprecated 代わりに Haskell-monads in string diagrams rev.2 - PS を参照。 Monoidal category にて・・・ Haskell-monad の flip 版を使った方が分かりやすいみたい。*1 Haskell-monad laws Kleisli composition Haskell-monad @deprecated Haskell-monad …

Error monad

記法 Under category (Coslice category) *1 Error monad Functor: と forgetful functor: について *2 となるが、この adjunction の associated monad が error monad。 Error monad transformer Adjunction からの monad transformer - PS から functor: …

Monad からの monad transformer

戦略 任意の monad: について Universal associated adjunctions - PS より少なくとも二通りの -associated adjunction: が作れたので Adjunction からの monad transformer - PS より functor: を作ることが出来る。 問題点 上記の functor の domain が に…

Comonad からの monad

Lifted adjuncts Adjunction: について、Adjunction lifting - PS により natural bijection: が存在するのであった。 命題 上記の adjunction について が comonad: になっているならば は monad になる。 Dual が monad ならば は comonad。 参考文献 Mona…

Adjunction からの monad transformer

Adjunctionからのmonad - PS を一般化する。 Adjunction-associated monoidal functor (と呼んでいいと思う) Adjunction: について は monoidal functor: になる。 Monad sandwich Monoid lifting により functor: を作ることが出来る。 State monad transfo…

Continuation monad

Association between monads and adjunctions monad: adjunction: について を満たすとき、互いに associated というのであった。 Identity monad identity functor: identity natural transformation: は monad になる。 Trivial adjunction さらに とする…

Reader monad

Opposite monoidal category Monoidal category: について *1 は、monoidal categoryになる(と思う)ので と書くことにする。 *2 Comonoid object そのopposite monoidal categoryにおけるmonoid objectのこと。 Trivial comonoid object Monoidal category w…

Writer monad

Monoid lifting Monoidal functors send monoids to monoids: Monoidal functor: について、functor: *1 を定義できる。 Monads from monoids 特に、 のcodomainがmonoidal category of endofunctors: のとき *2 Writer monad とすると、monoidal functor: …

Lens

いわゆるgetter/setterの圏論による表現。 Associated (co)monad with an adjunction Adjunctionからのmonad - PSより、adjunction: について はmonadに、 はcomonadになる。 EM category for a (co)monad Eilenberg-Moore adjunction - PSより、monad: につ…

Strong monad

Strong monad Monoidal category: について、もろもろのcoherence conditionを満たす monad: natural transformation: (strength) のペアのこと。 命題 monoidal category: monad: について、 とすれば、 はstrength。 証明 に注意する。 系 同様にして、Has…

Monadはapplicative

命題 Haskell-monad: について、 とすると、 は、applicative。 系 monoidal category: monad: について、 とすると、 はmonoidal endofunctor on になる(と思う)。 参考文献 haskell - How to show that a monad is a functor and an applicative functor? …

Haskell-monad

Haskell-monad Monad laws - HaskellWikiより、Haskell-monad: とは、 endofunctor: natural transformation: *1 関数族: で、left identity則、right identity則、associativity則、および *2 を満たすものとする。 命題 MonadとHaskell-monadは同値。 Endo…

Universal associated adjunctions

(・・・という用語は無いかもしれない) 任意のmonad: について・・・ Associated adjunction を満たすadjunction: を、associated adjunction with というのであった。 Category of associated adjunctions 上記をobjectとするcategory: をAdjunction category - P…

Kleisli adjunction

任意のmonad: について・・・ Kleisli adjunction Kleisli category について、 と書くことにすると、functor: と、 を定義できて、 をunit、 をcounitとするassociated adjunction with : を作ることが出来る。 参考文献 Abstract and Concrete Categories: Th…

CPS monad

任意のmonad: について・・・ Monadからのadjunction Adjunctionからのmonad - PSの対応: は、surjectiveであったので なるcounit-adjunction: が存在する。 Adjunction liftingによるright Kan extension Adjunction lifting - PSにより、 は、right Kan exten…

Operational monad

Free monad Free monads are free - PSにより Free functor Free functor object - PSにより Operational monad とすると、Composition of adjunctions - PSにより は、discrete diagram から作った一番シンプルなmonad。 参考文献 Adjoint functors - Wikip…

Free monads are free

いわゆるfree monadは、確かに圏論的にもfreeである。 Free object あるforgetful functor: について、-initial morphism: のことを(特に代表して のことを)、free -object over というのであった。 命題 category: endofunctor: forgetful functor: につい…

Element-wise law

Element-free law Monad morphism: の要件は、 *1 *2 であった。 Element-wise law 一方、Control.Monad.Morphでは、 morph . (f >=> g) = morph . f >=> morph . g morph . return = return となっていて、あれ?と思ってしまったが、 これはElement - PSの…

Monad transformer

Inhabited set 空でない集合のこと。 Pointed set 集合とその要素のペア: からなる代数的構造。このとき、 はinhabited。 Pointed object category: terminal -object: について、 -object: -morphism: のペア(からなる代数的構造) をpointed objectという。…

Category of monads

Monoidal category Monoidal category: とは、 category: bifunctor: (monoidal product) -object: (unit object) natural isomorphism: (associator) natural isomorphism: (left unitor) natural isomorphism: (right unitor) で、pentagon equalityとtria…

Free monad

Initial algebraの族からのadjunction category: endofunctor: forgetful functor: について、initial algebraの族: が存在するならば、Initial algebras with parameters - PSより、これをnaturalにするfunctor: を作ることが出来る。いま、 とすると は、i…

Codensity monad

Codensity monad Functor: について、right Kan extension of along : が存在するならば、 *1 は、monadを成す。このmonadをcodensity monad of という。 Adjunctionからのcodensity monad 特に、 がleft adjoint: を持つとき、Adjunction lifting - PSによ…

Adjunctionからのmonad

Associated monad with an adjunction Adjunction : left adjoint right adjoint counit unit について、 とすると、 endofunctor unit multiplication *1 はmonadになる。 State monads from currying 特に、 のとき、adjunction: から上記の方法で作ったmo…

Monad

Monad Monadとは以下から成る代数的構造 である: functor natural transformation (unit) natural transformation (multiplication) これらは以下の要件を満たさなくてはならない。 (associativity) (unitality) 参考文献 Monad (category theory) - Wikiped…