任意のmonad: について･･･ Kleisli adjunction Kleisli category について、 と書くことにすると、functor: と、 を定義できて、 をunit、 をcounitとするassociated adjunction with : を作ることが出来る。 参考文献 Abstract and Concrete Categories: Th…

任意のmonad: について･･･ Monadからのadjunction Adjunctionからのmonad - PSの対応: は、surjectiveであったので なるcounit-adjunction: が存在する。 Adjunction liftingによるright Kan extension Adjunction lifting - PSにより、 は、right Kan exten…

Free monad Free monads are free - PSにより Free functor Free functor object - PSにより Operational monad とすると、Composition of adjunctions - PSにより は、discrete diagram から作った一番シンプルなmonad。 参考文献 Adjoint functors - Wikip…

いわゆるfree monadは、確かに圏論的にもfreeである。 Free object あるforgetful functor: について、-initial morphism: のことを(特に代表して のことを)、free -object over というのであった。 命題 category: endofunctor: forgetful functor: につい…

Element-free law Monad morphism: の要件は、 *1 *2 であった。 Element-wise law 一方、Control.Monad.Morphでは、 morph . (f >=> g) = morph . f >=> morph . g morph . return = return となっていて、あれ？と思ってしまったが、 これはElement - PSの…

Inhabited set 空でない集合のこと。 Pointed set 集合とその要素のペア: からなる代数的構造。このとき、 はinhabited。 Pointed object category: terminal -object: について、 -object: -morphism: のペア(からなる代数的構造) をpointed objectという。…

Monoidal category Monoidal category: とは、 category: bifunctor: (monoidal product) -object: (unit object) natural isomorphism: (associator) natural isomorphism: (left unitor) natural isomorphism: (right unitor) で、pentagon equalityとtria…

Initial algebraの族からのadjunction category: endofunctor: forgetful functor: について、initial algebraの族: が存在するならば、Initial algebras with parameters - PSより、これをnaturalにするfunctor: を作ることが出来る。いま、 とすると は、i…

Codensity monad Functor: について、right Kan extension of along : が存在するならば、 *1 は、monadを成す。このmonadをcodensity monad of という。 Adjunctionからのcodensity monad 特に、 がleft adjoint: を持つとき、Adjunction lifting - PSによ…

Associated monad with an adjunction Adjunction : left adjoint right adjoint counit unit について、 とすると、 endofunctor unit multiplication *1 はmonadになる。 State monads from currying 特に、 のとき、adjunction: から上記の方法で作ったmo…

Monad Monadとは以下から成る代数的構造 である: functor natural transformation (unit) natural transformation (multiplication) これらは以下の要件を満たさなくてはならない。 (associativity) (unitality) 参考文献 Monad (category theory) - Wikiped…