PS

String diagram

String diagram による Applicative functor まとめ

Applicative Functors with Strings Applicative functor の記事をまとめました。 strcat/strapp.pdf at master · okomok/strcat · GitHub

String diagram による圏論まとめ

Category Theory with Strings 圏論の記事(enriched系を除く)をまとめました。 strcat/strcat.pdf at master · okomok/strcat · GitHub

Parameterized representations in string diagrams

(String diagram から逸脱してきた気がするが・・・) 記法 Natural isomorphism: を次のように描く: 命題 Functor: について、representation の族: が存在するならば は natural in となる infrafunctor がただ一つ存在し、しかも functorial。 証明 を次のよ…

Universal morphisms in string diagrams

記号は Universal morphism - PS に準じる。 Terminal morphisms Universality Bijectivity 参考文献 Universal property - Wikipedia, the free encyclopedia

Yoneda embedding in string diagrams

(String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2 - PS の続き・・・) Variance を?マークの向きで表すことにする。 Contravariant Yoneda bijection 定義: Yoneda embedding 記法 Natural transformation: を次のように表す: 命題 Yoneda embedding は full…

String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2

完全版(のつもり)。 記法 Functor について natural transformation: を以下のように描く: Naturality: を箱が筒抜けになっていることによって表現した。?ノードは無名関数の無名パラメータ。 この時点で証明は終わったも同然になる。 命題: Yoneda lemma F…

Representations in string diagrams

(きれいだけどたぶん使わない) Representations Bijectivity Uniqueness Yoneda embedding in string diagrams - PS Fully-faithful functors in string diagrams - PS のそれぞれの命題より 参考文献 Representable functor - Wikipedia, the free encyclop…

RAPL in string diagrams

命題: Right adjoints preserve limits : limiting cone : limiting cone 証明 Limits in string diagrams - PS の記法を使って Yoneda は要らなかった。 参考文献 圏と関手入門.pdf category theory - Right adjoints preserve limits - Mathematics Stack …

Limits in string diagrams

(ふとひらめいた) Cones うまい絵が思いつかないが・・・: Naturality Limits 空の筒を limit と定義する*1: Universality により Limit functors 参考文献 圏と関手入門.pdf *1: はどうなるんだという話になるが・・・

Fully-faithful functors in string diagrams

Function box も open にすればよかった。 Faithful functors Fully-faithful functors Faithful 性よりたしかに natural (点線はいらない)。 Laws Functoriality (と言ってしまおう) 命題 Functoriality preserves iso ゆえ 参考文献 The Joy of Cats in nL…

Conjugates in string diagrams

Conjugates Adjunction: について、以下のいずれかを満たす natural transformation のペア: を conjugate という: これらは (co)unit を内側や外側からつけると確かに同値。*1 Hom-set adjunctions in string diagrams - PS の対応により Hom-setでも表せる…

Hom-set adjunctions in string diagrams

Counit-unit adjunctions Hom-set adjunctions To counit-unit adjunctions とすると Counit と unit を使うと string diagram として自然な形に出来る、という感じ。 参考文献 Adjoint functors - Wikipedia, the free encyclopedia 圏と関手入門.pdf

Horizontal composition in string diagrams

(1-natural transformations in string diagrams - PS を使って・・・) Vertical composition Horizontal composition もっと早く知っていれば。 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors and Monads.pdf

Bifunctoriality in string diagrams

Product category Morphism Identity Composition Bifunctoriality 参考文献 Bifunctoriality - PS

Applicative functors in string diagrams rev.2

(役に立つような立たないような・・・) Comma operator Evaluation operator Applicative functors To monoidal functors とすると LiftAn 以上から直ちに: 参考文献 Applicative functors in String diagrams - PS

Monad algebras in string diagrams

Monad algebra Coherence 参考文献 Comonadic Notions of Computation Eilenberg-Moore adjunction - PS

String diagram による Yoneda lemma の証明

@deprecated 代わりに String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2 - PS を参照。 (・・・というよりそのための記法) Yoneda lemma 記法.1 Contravariant なので逆さにするんだけど紙面の都合上、 について と書くことにする。 記法.2 Natural transforma…

Monoidal comonads in string diagrams

Comonads in string diagrams Monads in string diagrams - PS を上下さかさまに。 Monoidal comonad Comonad: で : monoidal functor : monoidal natural transformation であるもの。 Monoidal naturality を明記すると: 参考文献 Comonadic Notions of Co…

Monoidal natural transformations in string diagrams

Monoidal functor Coherence Monoidal natural transformation Monoidal naturality 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors and Monads.pdf Frobenius Morphisms of Bicategories.pdf

Kleisli categories in string diagrams

Monads in string diagrams - PS の記法を使って・・・ Kleisli category Morphism Composition Kleisli adjunction 参考文献 Comonadic Notions of Computation Kleisli adjunction - PS

Strong monads in string diagrams rev.2

(Strong monads in String diagrams - PS を更新) Strong monad Strong endofunctors in string diagrams rev.2 - PS Monads in string diagrams - PS で以下を満たすもの: Coherence (これは合っている気がする) 参考文献 Comonadic Notions of Computation

Monads in string diagrams

(こうなんじゃないかなあ・・・) Monad Coherence Monad @deprecated (箱の添字 は省略) Coherence @deprecated 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors and Monads.pdf

Strong endofunctors in string diagrams rev.2

Open box の記法を使って Strong endofunctors in String diagrams - PS を更新。 Strength Naturality Coherence condition 参考文献 Comonadic Notions of Computation

1-natural transformations in string diagrams

("Open" functorial box - PS が便利なので描き方を更新) 1-category 1-functor 1-functorialilty 1-natural transformation 1-naturality 1-natural transformation @deprecated 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors a…

Cofree comonads in String diagrams

Cofree comonad Data *1 Implementations 再帰的に定義する(合わせ鏡のように)。 Functions 参考文献 Control.Comonad.Cofree *1:iso は真四角にした

Store comonads in String diagrams

Store(Costate) comonad Functions 参考文献 haskell - What is the Store comonad? - Stack Overflow

Haskell-comonads in String diagrams

@deprecated @todo ・・・と言っても Haskell-monads in String diagrams - PS を上下さかさまにしただけ。*1 Haskell-comonad Laws Functions 参考文献 https://hackage.haskell.org/package/comonad/docs/Control-Comonad.html All About Comonads (Part 1).p…

"Open" functorial box

(どうもこっちの方が断然良さそう) 1-functoriality Lax functoriality 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors and Monads.pdf Frobenius Morphisms of Bicategories.pdf

String diagram のすすめ

こちらは Haskell Advent Calendar 2015 - Qiita の 20 日目の記事です。 前の日・・・Hakyllでブログを作る(実践編) - Wake up! Good night* 次の日・・・「第2期 H本読書会 in 秋葉原」を終えて #readhbon #haskell - セカイノカタチ String diagram String diag…

Lax functors in String diagrams

(・・・と言っても String diagram での monoidal functor - PS と見た目は同じ) Lax functor Bicategory: について、lax functor とは、 のトリプルで以下を満たすもの: Binary functor を bifunctor と呼んでしまったので bifunctor とは呼べなくなっている。…

Strong monads in String diagrams

Strong endofunctors in String diagrams - PS の続き・・・ Strong monad が strong functor であり、さらに monad: になっているとき、以下を満たすものを strong monad という: 参考文献 Strong monad - Wikipedia, the free encyclopedia

Strong endofunctors in String diagrams

以下、非常に怪しい・・・ Strong endofunctor Monoidal category において、strong endofunctor とは 1-endofunctor: 1-natural transformation: (strength) のペアで、もろもろの coherence 要件を満たすもの、であった。 Lax に対する strong と用語が被って…

Enriched categories in String diagrams

In symmetric monoidal categories... -enriched category の composition は というカタチで定義されることになっているので か の二択になってしまうのだが、特に、 が symmetric のときは とすれば良かった。 currying がややこしくなってしまう。 参考文…

Equalizers in String diagrams

Fork 命題 Equalizer と にならって大文字と小文字でいいと思う。 参考文献 fork in nLab Equaliser (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia

Arrows in String diagrams

Arrow laws (・・・やっぱりつらいので左右逆にならないようにする) 以下、水平方向は考えないで、垂直方向のみ 1-category の composition とする。 メモ 「1.」と「 2.」は の functoriality。 「6.」は の についての extranaturality。 ただし、naturality …

Enriched Yoneda lemma in string diagrams

(ふとひらめいたが役に立つかは分からない) Uncurried Functoriality A naturality Yoneda bijection 記法 命題 円周上で の functoriality や の naturality を使っても矛盾がない・・・というのが Yoneda lemma? 参考文献 [0908.3347] A survey of graphical…

State monads in String diagrams

Monoidal category にて・・・ Diagonal morphism Naturality Terminating morphism (とはたぶん呼ばない) Naturality これらは、より一般には cartesian monoidal category のときに作れる。 State monad get/put 参考文献 [1203.0202] Pictures of Processes:…

Haskell-monads in String diagrams

@deprecated 代わりに Haskell-monads in string diagrams rev.2 - PS を参照。 Monoidal category にて・・・ Haskell-monad の flip 版を使った方が分かりやすいみたい。*1 Haskell-monad laws Kleisli composition Haskell-monad @deprecated Haskell-monad …

Opposite enriched category

Opposite enriched category symmeric monoidal category: -category: について、opposite -category: を次のように定義できる: Opposite enriched functor -functor について、opposite -functor: を次のように定義できる: Opposite enriched natural trans…

Enriched natural transformation

Enriched natural transformation monoidal category: -functor: について -natural transformation: とは、-morphism の族: で -naturality: を満たすもの。 Identity enriched natural transformation -functor について identity -natural transformation…

Symmetric monoidal category

Symmetry Monoidal category において symmetry とは natural isomorphism: で、もろもろの coherence axiom を満たすもの。 Symmetric monoidal category Symmetry を持つ monoidal category のこと。 Permutative category Symmetry を持つ strict monoida…

Enriched functor

Enriched functor -category について、-functor: とは、-morphism の族: で、-functoriality: を満たすもの(添字略)。 Identity enriched functor -category について identity -functor: を次のように定義できる: Composite enriched functor -functor: に…

Self-enriched category

(と呼んでいいのかな) Closed monoidal category - PS の続き・・・ Self-enriched category Closed monoidal category*1: について -enriched category: *2 を次のようにして定義できる。 次の functoriality により、これは確かに -category になる。 Functor…

Closed monoidal category

Closed monoidal category Monoidal category が を満たすとき、closed monoidal category という。 任意の について natural bijection (curry bijection): が存在するような monoidal category のこと。 Internal hom bifunctor Adjunctions with paramete…

Enriched category

Enriched category Monoidal category について -category とは 集合: -object の族: -morphism の族: -morphism の族: から成る代数的構造で、もろもろの coherence axiom を満たすもの。 String diagram にて ひもの左右にタグが付いている 二本のひもが束…

Coherence theorem

Tree rotation Tree rotation - Wikipedia, the free encyclopedia を参照。 General associativity theorem General Associativity Theorem/Formulation 3 - ProofWiki を参照。 これにより、binary tree は tree rotation の繰り返しでどんな形にも変形で…