PS

Yoneda

Yoneda embedding in string diagrams

(String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2 - PS の続き・・・) Variance を?マークの向きで表すことにする。 Contravariant Yoneda bijection 定義: Yoneda embedding 記法 Natural transformation: を次のように表す: 命題 Yoneda embedding は full…

String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2

完全版(のつもり)。 記法 Functor について natural transformation: を以下のように描く: Naturality: を箱が筒抜けになっていることによって表現した。?ノードは無名関数の無名パラメータ。 この時点で証明は終わったも同然になる。 命題: Yoneda lemma F…

String diagram による Yoneda lemma の証明

@deprecated 代わりに String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2 - PS を参照。 (・・・というよりそのための記法) Yoneda lemma 記法.1 Contravariant なので逆さにするんだけど紙面の都合上、 について と書くことにする。 記法.2 Natural transforma…

Enriched co-Yoneda isomorphisms

(こちらもやっておくのが筋だろうということで) Symmetric closed monoidal category において・・・ 命題: Yoneda isomorphisms via coends 証明 Yoneda isomorphsim の flip を curry に変えるだけ: 参考文献 end in nLab Co-Yoneda lemma - PS

Enriched Yoneda lemma in string diagrams

(ふとひらめいたが役に立つかは分からない) Uncurried Functoriality A naturality Yoneda bijection 記法 命題 円周上で の functoriality や の naturality を使っても矛盾がない・・・というのが Yoneda lemma? 参考文献 [0908.3347] A survey of graphical…

Naturality of Yoneda bijections

1-naturality of Yoneda bijections についての 1-naturality*1: 特に のときは 系 つまり で、かつ iso ならば iso 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory *1:comma category 間の 1-functoriality でもある

(Co)ends in enriched categories

End 特に、 のとき、 preserves ends より記号に矛盾は無い。 Coend 命題: (Co)ends via weighted (co)limits existence-compatible 証明 命題: (Co)powers preserve (co)ends ただし、preservation of ends は (Co)ends via weighted (co)limits を通して P…

Every presheaf is a colimit of representables

以下、Lambda 記法 - PS の記法を使う。 Pointwise weighted limits Pointwise weighted limits - PS より: Pointwise weighted colimits (怪しい)証明 @deprecated @deprecated Contravariant Yoneda embedding @deprecated 命題 証明 具体的には、以下の二…

Weighted limit による enriched Yoneda lemma

Enriched Yoneda lemma with hom functors @deprecated -functor: について -natural in Enriched Yoneda lemma via weighted limits -functor: について -natural in 証明 Enriched Yoneda lemma - PS で特に とすると 証明 @deprecated Enriched Yoneda le…

Representability による limit

(これを一般化したものが Weighted limit - PS) Yoneda embedding bijection category: category of presheaves: について、Yoneda embedding: の各 component は、Yoneda bijection: となるのであった。 補題 上記の Yoneda bijection は、limiting cone を…

Enriched Yoneda embedding

Curry isomorphism 以下、Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の補題の isomorphic 1-functor: を使用する。 Enriched fully-faithful functor -isomorphism の族になっている -functor のこと。 Enriched Yoneda embedding これは Yoned…

Enriched Yoneda lemma

Flip bijection Curry bijection を二回重ねたもの(を勝手に): Enriched Yoneda lemma -functor: -object: について -natural in ただし、この -naturality は Enriched evaluation functor - PS Enriched end functor - PS により定義されるものとする。 証…

Enriched Yoneda lemma いろいろ (weak form)

Symmetric closed monoidal category において・・・ 命題.1 -functor: -morphism の族: について、Yoneda bijection: は についての -(extra)natural-lookingness を preserve する。 命題.2 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS で特に のとき 参考文献 B…

Enriched Yoneda principle (weak form)

系 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の特に のとき Enriched Yoneda embedding (weak form) 上記の系で特に を identity -functor とすると となる。 Enriched Yoneda principle (weak form) 上記の対応は preserves iso: 証明 の -functoriality お…

Enriched Yoneda lemma (weak form)

1-category of enriched functors monoidal category: -category: について、-natural transformation を 1-cell とする 1-category は であった。 記法 命題 symmetric closed monoidal category: -category: -functor: -object: について しかも について …

Yoneda principle

@deprecated 代わりに Fully-faithful functors in string diagrams - PS を参照。 Conservative functor Reflects iso な functor つまり を満たす functor のこと。 Fully faithful functor なる functor のこと。 命題 fully faithful functor -isomorphi…

Co-Yoneda lemma

Co-Yoneda lemma Category をlocally smallとする。 任意の -object と functor について、 しかも、 と についてnatural(と思う)。 具体的には、関数: とすると、 がcoending cowedgeになる。 Contravariant co-Yoneda lemma 特に、 とすると、functor につ…

EndによるYoneda lemma

Yoneda lemma Category をlocally smallとする。 任意の -object と functor について、 しかも、 と についてnatural。 具体的には、関数: とすると、 がending wedgeになる。 Naturalityはpointwise endsにより定義される(と思う)。 Contravariant Yoneda …