@deprecated @todo ･･･と言っても Haskell-monads in String diagrams - PS を上下さかさまにしただけ。*1 Haskell-comonad Laws Functions 参考文献 https://hackage.haskell.org/package/comonad/docs/Control-Comonad.html All About Comonads (Part 1).p…
(どうもこっちの方が断然良さそう) 1-functoriality Lax functoriality 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors and Monads.pdf Frobenius Morphisms of Bicategories.pdf
こちらは Haskell Advent Calendar 2015 - Qiita の 20 日目の記事です。 前の日･･･Hakyllでブログを作る(実践編) - Wake up! Good night* 次の日･･･「第2期 H本読書会 in 秋葉原」を終えて #readhbon #haskell - セカイノカタチ String diagram String diag…
こちらは TeX ＆ LaTeX Advent Calendar 2015 - Adventar の 15 日目の記事です。 前の日･･･LaTeXの相互参照はいつでも解決（収束）するのか？ - Qiita 次の日･･･\mathchoice の闇 - TeX Alchemist Online lambda-lists TikZ と格闘中に lambda-lists (lambd…
Arrow Arrow-fragment に を加えたもの。 命題 Arrow と strong promonad は同値。 証明 ･･･は終わりそうもないが対応はたぶんこう: (symmetry は省略) 参考文献 Arrows are Strong Monads.pdf
Pro-embedding - PS Monoidal product of profunctors - PS の続き。 Monoidal category において･･･ 記法 Strong endoprofunctor Strong endoprofunctor とは、endoprofunctor: endoprofunctor: natural transformation: (strength) で、以下を満たすもの: …
記法 Monoidal product of profunctors とすると、pseudofunctor: になって は monoidal bicategory になる･･･んだろうなと思う。*1 特に、 は pseudofunctor になる。添字は略･･･するのが計算のコツらしい。 参考文献 Arrows are Strong Monads.pdf *1:証明…
(･･･とでも呼ぶことにする) 命題 Pseudofunctor: を次のようにして定義できる: 参考文献 Arrows are Strong Monads.pdf
(･･･と言っても String diagram での monoidal functor - PS と見た目は同じ) Lax functor Bicategory: について、lax functor とは、 のトリプルで以下を満たすもの: Binary functor を bifunctor と呼んでしまったので bifunctor とは呼べなくなっている。…
Strong endofunctors in String diagrams - PS の続き･･･ Strong monad が strong functor であり、さらに monad: になっているとき、以下を満たすものを strong monad という: 参考文献 Strong monad - Wikipedia, the free encyclopedia
以下、非常に怪しい･･･ Strong endofunctor Monoidal category において、strong endofunctor とは 1-endofunctor: 1-natural transformation: (strength) のペアで、もろもろの coherence 要件を満たすもの、であった。 Lax に対する strong と用語が被って…
以下、1-category において･･･ Monoidal category of endoprofunctors @ignore Bicategory of profunctors: で、特に profunctor の domain と codomain を 1-category に固定すると、monoidal category: を作れる。 Bicategory of 1-profunctors Arrow-frag…
Symmetric closed monoidal category において･･･ Profunctor なる形の -erirched functor のことを と書き、-enriched profunctor と呼ぶことにする。 1-category of profunctors Horizontal composition of profunctors Profunctor: について とすると coe…
(こちらもやっておくのが筋だろうということで) Symmetric closed monoidal category において･･･ 命題: Yoneda isomorphisms via coends 証明 Yoneda isomorphsim の flip を curry に変えるだけ: 参考文献 end in nLab Co-Yoneda lemma - PS
命題 Coproduct と coequalizer から coend が作れる。 証明 -enriched functor: について とすると は coending cowedge になる。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory end in nLab
Dual of... Enriched end - PS Enriched end functor - PS Preservation of ends - PS 以下、symmetric closed monoidal category において･･･ 定義: Coend -functor について 定義: Coend 1-functor 命題: Internal hom functors send coends to ends 証明 …
In symmetric monoidal categories... -enriched category の composition は というカタチで定義されることになっているので か の二択になってしまうのだが、特に、 が symmetric のときは とすれば良かった。 currying がややこしくなってしまう。 参考文…
Fork 命題 Equalizer と にならって大文字と小文字でいいと思う。 参考文献 fork in nLab Equaliser (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
Arrow laws (･･･やっぱりつらいので左右逆にならないようにする) 以下、水平方向は考えないで、垂直方向のみ 1-category の composition とする。 メモ 「1.」と「 2.」は の functoriality。 「6.」は の についての extranaturality。 ただし、naturality …
(･･･というのは少し嘘かもしれない) Catamorphisms Free monad - PS の より･･･ Free monad 参考文献 Haskell for all: Why free monads matter Control.Monad.Free
再帰の圏論的表現。 Right trace Monoidal category において、natural transformation*1: で、もろもろの coherence 要件を満たすもの。その要件により right trace を次のように描ける: Right trace を持つ monoidal cateogry を right traced monoidal ca…
(ふとひらめいたが役に立つかは分からない) Uncurried Functoriality A naturality Yoneda bijection 記法 命題 円周上で の functoriality や の naturality を使っても矛盾がない･･･というのが Yoneda lemma？ 参考文献 [0908.3347] A survey of graphical…
Identity functor Constant functor Traversable functor Traversable functor laws Traversable functor - PS より･･･ foldMap/foldr 参考文献 Foldable and Traversable - Jakub Arnold Blog
@deprecated 代わりに Applicative functors in string diagrams rev.2 - PS を参照。 以下、curry/uncurry したものは区別にしないことにする。 (右足を上げたり下げたりするだけ) Applicative functor Applicative functor laws Monoidal functors via app…
Identity monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki
Concatenation List monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki
Error monad Maybe monad の を にしただけ。 throw/catch 参考文献 All About Monads - HaskellWiki haskell - Is there no standard (Either a) monad instance? - Stack Overflow
Universality of coproducts Merge morphism Initializing morphism (とはたぶん言わない) Monoidal category with finite coproducts Cocartesian monoidal category ともいう。 命題 Maybe monad 参考文献 [1401.7220] Category Theory Using String Diagr…
Evaluation Continuation monad Flip bijection を使って･･･ callCC ･･･かえって分かりにくい。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki
Writer monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki
