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関係と関数

記号論理関数

@deprecated

A, Bを任意の集合とする。

二項関係, binary relation

$R \subseteq A \times B$

なるRを、「AとBの間の二項関係」と言い、Aを「Rのdomain」、Bを「Rのcodomain」と言う。

関数, function

fが、AとBの間の二項関係であり、

$\forall x \in A, \exists !y \in B, (x, y) \in f$

を満たすとき、fを「AからBへの関数」と言い、

$f: A \rightarrow B$

と書く。このとき、xに応じてただ一つ存在するyをf(x)と書く。

等しい関数

任意の

$f: A \rightarrow B, g: C \rightarrow D$

について、関数の定義より

$f = g \Leftrightarrow (A = C) \wedge (\forall x \in A \cap C, f(x) = g(x))$

定義によれば、「B = D」でなくてもよい。(ということになってしまった)

記法

$a R b \equiv (a, b) \in R$
$R(a, b) \equiv aRb$
$R(a) \equiv \{b \in B|a R b\}$
$R^{-1} \equiv \{(b, a)|a R b\}$
$\{f(x)|F(x)\} \equiv \{y \in B|\exists x \in A(F(x) \wedge y = f(x))\}$
$B^A \equiv \{g|g: A \rightarrow B\}$
$A \rightarrow B \equiv B^A$

命題

$\emptyset : \emptyset \rightarrow A$
- Vacuous truthにより、空集合は関数である。
$(\forall x \in A, \exists y \in B, xRy) \Rightarrow (\exists f: A \rightarrow B, \forall x \in A, x R f(x))$
- 選択公理の一種。無意識に使っている。

参考文献