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Morphism category

定義 Category

Morphism category

任意のcategory $\mathcal{C}$ について、morphism category:

$\mathcal{C}^{\rightarrow}$

を次のように定義できる:

${\mathcal{C}^{\rightarrow}}_0 = \mathcal{C}_1$
${\mathcal{C}^{\rightarrow}}_1 = \{(f, a, b, g) \in {\mathcal{C}_1}^4 | b \circ f = g \circ a \}$
$\text{dom}(f, a, b, g) = f$
$\text{cod}(f, a, b, g) = g$
$(g, a', b', h) \circ (f , a, b, g) = (f, a' \circ a, b' \circ b, h)$
$\text{id}(f \text{ : } A \rightarrow B) = (f, \text{id}_A, \text{id}_B, f)$

Morphism間のhomomorphismを定義した、ということ。

Function category

(とでも呼べばいいのだろうか。)

上の定義はなんだかよく分からない？が、特に $\mathcal{Set}$ のmorphism category $\mathcal{Set}^{\rightarrow}$ について考えると

- $\Leftrightarrow b(f(x)) = g(a(x))$
- $\Leftrightarrow (a(x) \text{, } b(f(x))) \in g$
- $\Leftrightarrow (x \text{, } y) \in f \Rightarrow (a(x) \text{, } b(y)) \in g$

これでstructure-preservingな感じが分かると思う。

Over category, slice category

$S$ を $\mathcal{C}$ の任意のobjectとする。

$\mathcal{C}^{\rightarrow}$ の定義において、 $b$ を $\text{id}_S$ に固定すると、over category:

$\mathcal{C} \downarrow\nolim_S$

を定義できる。

参考文献