PS

Morphismの性質

定義 Morphism

$\mathcal{C}$ を任意のcategoryとする。

任意の

$h \in \mathcal{C}_1$

について次のように定義する:

Monomorphism

- $h \circ f = h \circ g \Rightarrow f = g$

ただし、式を未定義にするような $f \text{, } g$ の場合は除く*1。以下も同様とする。

Epimorphism

- $f \circ h = g \circ h \Rightarrow f = g$

Bimorphism

- $h \text{ : mono} \wedge h \text{ : epi}$

Isomorphism

- $\exists g ( g \circ h = \text{id} \wedge h \circ g = \text{id})$

このような $g$ が存在するとき、明らかにただ一つに定まるので、 $h^{-1}$ と書く。

Isomorphic

二つのobjectの間にisomorphismが存在するとき、両者はisomorphicである、という。

- $\exists g \text{ : } A \rightarrow B \text{, } g \text{ : iso}$

命題

$(h^{-1})^{-1} = h$
$h \text{ : iso} \Rightarrow h \text{ : bi}$ *2

参考文献

isbn:0521283043

*1:コンパイラのように、domain等は自分でinferせよ、という嫌らしい要求

*2:逆は成立しない。