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Subcategory

定義 Category Functor

Subcategory @error

Category $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$ について、以下を満たすとき、 $\mathcal{C}$ を $\mathcal{D}$ のsubcategoryといい、(思い切って) $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{D}$ と書くことにする。

$\mathcal{C}_0 \subseteq \mathcal{D}_0$
$\mathcal{C}_1 \subseteq \mathcal{D}_1$
$\exists I \text{ : } \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D} \text{, } \forall x \in \mathcal{C} \text{, } I(x) = x$ *1

このようなfunctor $I$ が存在するならば、明らかにただ一つ定まる。

(この定義が一番シンプルだと思うが･･･)

Inclusion functor @error

$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{D}$ なる任意のcategory $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$ について、上の $I$ をinclusion functorといい、(思い切って) $\subseteq$ と書くことにする:

$\subseteq \text { : } \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$
$\subseteq(x) = x$

命題

$\subseteq _ 0 : \text{injective}$
$\subseteq: \text{faithful}$
$\subseteq: \text{mono}$

参考文献

*1: $x$ はobjectまたはmorphism