Commutative diagram

Category $\mathcal{C}$ について、

が成立するとき、preorder categoryという。つまり、domainとcodomainが等しいmorphism同士は等しい、というcategory。

Category $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ について、functor:

を、diagram in $\mathcal{D} }$ of shape $\mathcal{C} }$ という。

関数の略記法が「族」であったが、functorの略記法がdiagramである、ということらしいので

などと書いていいのだと思うが･･･。

特に、diagram $A : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ のdomain $\mathcal{C} }$ がpreorder categoryのとき、commutativeであるという。

*1:|X|はXの元の数