Product

Category $\mathcal{C}$ について、以下の二つの要件を満たすものをdiscreate categoryという。

任意の $A, B \in \mathcal{C}_0$ について

つまり、morphismが $\text{id}$ しかないcategory。Discrete categoryはpreorderである。

Domainがdiscreteなdiagramのこと。このようなdiagramは、そのcodomainのobjectの族と本質的に同じ。 Discrete diagramはcommutativeである。

Discrete diagramのlimit*1をproductといい、記号 $\lim$ の代わりに

を使う。Productの各componentをprojection morphismという。

これにより、 $\prod$ のとれる引数が関数からfunctorに拡張された。

特に、discrete diagramが $(A_1, A_2,..,A_n)$ *2 の場合、そのproductを

と書く。

*1:naturalityは自明

*2:n-tupleは族である。