PS

Functor category

定義 Natural transformation Category

Identity natural transformation

Functor $F$ について、identity natural transformation:

$1 _ F : F \rightarrow F$
$(1 _ F) _ A = \text{id} _ {F(A)}$

を定義できる。

Composite natural transformation

二つのnatural transformation:

$\sigma : F \rightarrow G$
$\tau : G \rightarrow H$

について、composite natural transformationを次のように定義できる:

$\tau \circ \sigma : F \rightarrow H$
$(\tau \circ \sigma) _ A = \tau _ A \circ \sigma _ A$

Functor category

Category $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ について、functor category

$\mathcal{D} ^ {\mathcal{C} }$

を次のようにして定義できる:

$(\mathcal{D}^{\mathcal{C} })_0 = \lbrace F \mid F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D} \rbrace$ *1
$(\mathcal{D}^{\mathcal{C} })_1 = \lbrace \sigma : F \rightarrow G \mid F, G : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D} \rbrace$
$\text{dom}(\sigma) = \text{domain of } \sigma$
$\text{cod}(\sigma) = \text{codomain of } \sigma$
$\tau \circ \sigma = \text{composite natural transformation of } \tau \text{ and } \sigma$
$\text{id}(F) = \text{identity natural transformation of } F$

Functor間のhomomorphismはnatural transformationだ、ということ。

命題

$\sigma: \text{iso} \Leftrightarrow \sigma: \text{natural isomorphism}$

参考文献

*1:集合かどうかは $C$ と $D$ 次第(らしい)。