PS

Product functor

定義 Category Morphism Functor Natural transformation

Cartesian category

@deprecated

Category $\mathcal{C}$ について、以下を満たすとき、cartesian category*1という。

任意のdiscrete diagram in $\mathcal{C}$ :

$(A _ 1,A _ 2,...,A _ n)$

について、product:

$A _ 1 \times A _ 2 \times ... \times A _ n$

が存在する。

Product morphism

二つのproduct:

$(p _ 1 : A _ 1 \times A _ 2 \rightarrow A _ 1, p _ 2 : A _ 1 \times A _ 2 \rightarrow A _ 2)$
$(q _ 1 : B _ 1 \times B _ 2 \rightarrow B _ 1, q _ 2 : B _ 1 \times B _ 2 \rightarrow B _ 1)$

二つのmorphism:

$f _ 1 : A_1 \rightarrow B _ 1$
$f _ 2 : A_2 \rightarrow B _ 2$

について、

$(f _ 1 \circ p _ 1 : A _ 1 \times A _ 2 \rightarrow B _ 1, f _ 2 \circ p _ 2 : A _ 1 \times A _ 2 \rightarrow B _ 2)$

はconeであるから、product morphism を次のように定義できる:

$f _ 1 \times f _ 2 : A _ 1 \times A _ 2 \rightarrow B _ 1 \times B _ 2$
$f _ 1 \times f _ 2 = \langle f _ 1 \circ p _ 1, f _ 2 \circ p _ 2 \rangle _ q$ *2

Product functor

Cartesian category $\mathcal{C}$ について、product functorを以下のように定義できる:

$(\unicode{x2013}) \times (\unicode{x2013}) : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$
$( (\unicode{x2013}) \times (\unicode{x2013}) )(x, y) = x \times y$

部分適用されたバージョンもhom functorと同様にして定義できる。

これは、limit functorの一種。

命題

$(f \times g)\circ \langle a, b \rangle = \langle f \circ a, g \circ b \rangle$

参考文献

Basic Category Theory for Computer Scientists (Foundations of Computing)

*1:どうやら非推奨な用語であるらしい。

*2: $q$ とのmediating morphism