PS

Diagonal functor

定義 Category Functor Natural transformation

The 1

Category $1$ を次のように定義できる:

$1 _ 0 = \lbrace \ast \rbrace$
$1 _ 1 = \lbrace * \rbrace$
$\text{dom}(\ast) = \ast$
$\text{cod}(\ast) = \ast$
$\ast \circ \ast = \ast$
$\text{id} _ \ast = \ast$

命題

$\mathcal{C} ^ {0} \cong 1$

Constant functor

Category $\mathcal{J}$ と $\mathcal{C}$ -object $A$ について、constant functor $\Delta(A)$ を次のように定義できる:

$\Delta(A) : \mathcal{J \rightarrow C}$
$\Delta(A)(x) = A$

Constant natural transformation

任意のcategory $\mathcal{J}$ と $\mathcal{C}$ -morphism $f : A \rightarrow B$ について、constant natural transformation:

$\Delta(f) : \Delta(A) \rightarrow \Delta(B)$
$\Delta(f) _ X = f$

を定義できる。

Diagonal functor

上記の二つから、任意のcategory $\mathcal{J, C}$ について、diagonal functor:

$\Delta : \mathcal{C \rightarrow C ^ J }$

を定義できる。これにより、morphismをfunctor categoryに描くことができる。

命題

- $\Delta: \text{faithful}$
- $\Delta(A) \cong \Delta(B) \Leftrightarrow A \cong B$

参考文献