PS

Limit

定義 Category Limit

(定義に再び挑戦･･･)

Terminal object

Category \mathcal{C} について、terminal object:

  • T

とは、以下を満たす \mathcal{C}-object のこと。

  • {} ^ \forall A \in \mathcal{C} _ 0, {} ^ \exists ! f \in \mathcal{C} _ 1, f : A \rightarrow T (universality)

このただ一つ存在する f を

  • T(A) (mediating morphism)

で参照することにする。

Terminal objectはunique up to isomorphismなので、一つ選んで 1 と書く。

Cone

Domainがconstant functorになっているnatural transformation:

  • (\psi _ A : N \rightarrow F(A) ) _ A

を F へのconeという。

Cone category

任意のfunctor F : \mathcal{J \rightarrow C} について、 F へのconeをobjectとする、cone category over F を

  • diagonal functor: \Delta : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{ C ^ {J} }
  • constant functor: \Delta(F) : 1 \rightarrow \mathcal{C ^ {J} }

を使って次のように定義できる:

  • \mathcal{Cone}(F) = (\Delta \downarrow \Delta(F))

Limit

\mathcal{Cone}(F) のterminal objectを F のlimitという。

参考文献