PS

Polynomial ring

Sequence, 列

自然数を添字とする族:

  •  (s_i)_{i \in \mathbb{N}}

のこと。

Polynomial, 多項式

Commutative ring  R について、polynomial over  R とは、以下を満たすsequence  (s _ i \in R) _ i のこと。

  •  {} ^ \exists n \in \mathbb{N}, {} ^ \forall i \gt n, s _ i = 0

このとき、  (s _ i) _ i を、適当にvariable  x を選んで

  •  s _ n x ^ n + \cdots +s _ 1 x + s _ 0

あるいは

  •  \sum\limits _{i = 0} ^ n s _ i x ^ i

と書く。それぞれの  s _ i coefficientという。新たな族の表記法である。

Zero polynomial

常に  0 \in R を返すsequence  (0) _ i は明らかにpolynomialである。これを  0 と書くことにする。

Degree, 次数

Polynomial  (s _ i) _ i 0 でないとき、明らかに

  •  {} ^ \exists n \in \mathbb{N},
    •   s _ n \neq 0 and  {} ^ \forall i \gt n, s _ i = 0

この  n (s _ i) _ idegreeといい、 s _ nleading coefficientという。

Polynomial ring

Commutative ring  R について、polynomial ring  (R[x], +, \cdot) を以下のように定義できる。

  •  R[x] = \lbrace s \mid s \text{ is a polynomial over } R \rbrace
  • 以下略

参考文献