PS

Free object

定義 Functor

Forgetful functor

$U : \mathcal{Mon} \rightarrow \mathcal{Set}$ 等は習ったが、一般の場合の定義は難しいらしい。

Free object

forgetful functor: $U : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$
$\mathcal{C}$ -object: $X$

について、free object on $X$ とは、

comma category $(\Delta(X) \downarrow U)$

のinitial objectのこと。つまり、initial morphism:

$\tau : X \rightarrow U(T)$

のこと。

$\mathcal{C}$ -object から一番シンプルに作った $\mathcal{D}$ -object、というのを圏論の言葉で書くとこのようになるらしい。

Free object functor

Forgetful functorのleft adjoint functorのこと。

Pointwise construction of adjoints - PS (のdual)により、initial morphismの族:

$\big( \tau _ X : X \rightarrow U(T _ X) \big) _ X$

が存在すれば、

$T \dashv U$

なるfunctor $T$ を作ることが出来る。

参考文献