PS

Equivalence class

Equivalence relation

Reflexiveかつsymmetricかつtransitiveなbinary relationのこと。

Trivial equivalence relation

  •  X \times X

は、equivalence relation on  X

Equivalence class

Equivalence relation on  X :

  •  \sim \subseteq X \times X

について、

  •  \lbrace y \in X \mid x \sim y \rbrace

を、equivalence class of  x modulo  \sim といい、

  •  [x] _ \sim

と書く。添え字の  {}_\sim はたいてい省略される。

Quotient set

さらに、

  •  \lbrace [x] _ \sim \mid x \in X \rbrace

を、quotient set of  X modulo  \sim といい、

  •  X/ _ \sim

と書く。 X を「クラス分け」したもの。

Canonical projection

  •  \pi : X \rightarrow X/ _ \sim
  •  \pi(x) = [x] _ \sim

のこと。これを抽象化したものが、coequalizerになる。

命題

  •  x \sim y \Leftrightarrow [x] _ \sim = [y] _ \sim
  •  \pi : \text{surjective}

Respects

Function  f : X \rightarrow Y

  •  x \sim y \Rightarrow f(x) = f(y)

を満たすとき、 f respects  \sim という。このとき、

  •  \overline{f}([x] _ \sim) = f(x)

とすれば、function:

  •  \overline{f} : X/ _ \sim \rightarrow Y

を作ることができる。

Equivalence relation generated by A

Binary relation on  X :

  •  A \subseteq X \times X

について、

  •  \displaystyle\bigcap \lbrace B : \text{equivalence relation on } X \mid A \subseteq B \rbrace

は、 A を含む最小のequivalence relation。

参考文献