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Group object

定義

Group object

Has finite productsなcategory $\mathcal{C}$ において、group objectとは、

$\mathcal{C}$ -object $G$
$\mathcal{C}$ -morphism $m : G \times G \rightarrow G$
$\mathcal{C}$ -morphism $i : G \rightarrow G$
$\mathcal{C}$ -morhpism $u : 1 \rightarrow G$

から成る代数的構造のこと。(要件略)

Groupのcarrierを、集合からobjectへ一般化したということ。同様にして、monoidを一般化したものをmonoid object･･･とは言わないようだ。

命題

$\mathcal{Set}$ のgroup objectは、group
$\mathcal{Grp}$ のgroup objectは、abelian group (Eckmann–Hilton argument)

参考文献