PS

Sectionとretraction

動機

Isomorphismの要件を分割する。

(  f : \text{mono and epi} \Rightarrow f : \text{iso} は成立しない)

Section

Left-inverseを持つmorphismのこと。

Retraction

Right-inverseを持つmorphismのこと。Split epimorphismともいう。

命題

  •  \big( f \circ g = 1, h \circ f = 1 \big) \Rightarrow g = h = f ^ {-1}
  •  f : \text{iso}
    •  \Leftrightarrow f : \text{section and retraction}
    •  \Leftrightarrow f : \text{section and epi}
    •  \Leftrightarrow f : \text{retraction and mono}
  •  f : \text{section} \Rightarrow f : \text{mono}
  •  f : \text{retraction} \Rightarrow f : \text{epi}
  •  f : \text{equalizer} \Rightarrow f : \text{mono}
  •  f : \text{coequalizer} \Rightarrow f : \text{epi}

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命題

  •  {} ^ {\forall} F : \text{functor},
    •  F : \text{preserves sections, retractions and isos}
    •  F : \text{faithful} \Rightarrow F : \text{reflects epis and monos}
    •  F : \text{full and faithful} \Rightarrow F : \text{reflects sections, retractions and isos}
    •  F : \text{equivalence} \Rightarrow F : \text{preserves and reflects sections, retractions, monos, epis and isos}

参考文献