PS

Yoneda lemma

定義 Functor 命題

Evaluation functor

Category \mathcal{C}, \mathcal{D} について、evaluation functor:

  • \epsilon : \mathcal{D} ^ {\mathcal{C}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
  • \epsilon _ 0(F, C) = F(C)
  • \epsilon _ 1(\eta : F \rightarrow G, f : C \rightarrow D) = \eta _ D \circ F(f) = G(f) \circ \eta _ C

を定義できる。*1

  • \epsilon = \unicode{x2013}(\unicode{x2013})

と書くことにすると

  • \eta(f) = \eta _ D \circ F(f) = G(f) \circ \eta _ C

Swap functor

Category \mathcal{C}, \mathcal{D} について

  • \text{Swap} : \mathcal{C} \times \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{D} \times \mathcal{C}
  • \text{Swap} (c, d) = (d, c)

なるfunctorをswap functorと呼ぶことにする*2。これは明らかにisomorphism。

Yoneda embedding

Locally small category \mathcal{C} について

  • \hat{\mathcal{C}} := \mathcal{Set} ^ {\mathcal{C} ^ {op}}

としたとき

  • \text{y} : \mathcal{C} \rightarrow \hat{\mathcal{C}}
  • \text{y} _ 0(C) = \mathcal{C}(\unicode{x2013}, C) (contravariant hom functor)
  • \text{y} _ 1(f : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}) = \mathcal{C}(\unicode{x2013}, f)

なるfunctorをYoneda embeddingという。ここで \mathcal{C}(\unicode{x2013}, f) は、natural transformation:

  • \mathcal{C}(\unicode{x2013}, f) : \mathcal{C}(\unicode{x2013}, C) \rightarrow \mathcal{C}(\unicode{x2013}, D)
  • \mathcal{C}(X, f)(g : X \rightarrow C) = f \circ g

のこと。

命題

  • \text{y} _ 0 : \text{injective}

Yoneda lemma

任意の

  • locally small category \mathcal{C}
  • \mathcal{C}-object C
  • functor F \in \hat{\mathcal{C}} _ 0

について、natural isomorphism:

が存在する。

命題

  • \text{y} : \text{full and faithful} (Yoneda lemmaより)

これにより、 \mathcal{C} における計算を、より便利なcategory \hat{\mathcal{C}} で計算できる、ということらしい。

参考文献

*1:Bifunctor lemmaにより、確かにfunctorであることが証明できる

*2:正式な名前が分からず

*3:codomainはevaluation functorとswap functorのcomposition