PS

Universal morphism

圏論 定義 Morphism

記法

  • functor: F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
  • \mathcal{D}-object: d
  • constant functor: \Delta d : 1 \rightarrow \mathcal{D}

について･･･

Over category

Over category*1:

  • F \downarrow _ d

とは、comma category:

  • (F \downarrow \Delta d )

のこと。

特に、 F がdiagonal functorのときは、cone categoryのことである。

Under category

Under category:

  • {} ^ d \downarrow F

とは、comma category:

  • (\Delta d \downarrow F )

のこと。

特に、 F がdiagonal functorのときは、cocone categoryのことである。

Terminal morphism

Over category F \downarrow _ d のterminal object:

  • \epsilon : F(c) \rightarrow d

を、F-terminal morphismという。

特に、 F がdiagonal functorのときは、limiting coneのことである。

Initial morphism

Under category {} ^ d \downarrow F のinitial object:

  • \eta : d \rightarrow F(c)

を、 F-initial morphismという。

特に、 F がdiagonal functorのときは、colimiting coconeのことである。

Natural bijectionによる表現

F-terminal morphism \epsilon : F(c) \rightarrow d は、 x についてのnatural bijection:

  • \mathcal{C}(x, c) \cong \mathcal{D}(F(x), d)

と本質的に等しい。なぜなら、Yoneda lemmaにより、

  • \mathcal{D}(F(c), d) \cong \mathcal{Set} ^ {\mathcal{C} ^ {\text{op}}} \big(\mathcal{C}(-, c),\ \mathcal{D}(F(-), d) \big)

であるが、この対応により、terminal morphismはnatural bijectionに、
natural bijectionはterminal morphismに写るから。

具体的には、 F-terminal morphism \epsilon : F(c) \rightarrow d について、

  • \psi _ x : \mathcal{C}(x, c) \rightarrow \mathcal{D}(F(x), d)
  • \psi _ x(f) = \epsilon \circ F(f)

とすると、 (\psi _ x) _ x はnatural bijection。
逆に、あるnatural bijection (\psi _ x) _ x について、

  • \epsilon = \psi _ c(1 _ c)

とすると、 \epsilon : F(c) \rightarrow d は、 F-terminal。
さらに、これらの操作は互いにinverse。

メモ

より抽象度が上がった世界*2では universal morphism では不十分になるので natural bijection による表現の方が出世する。

参考文献

*1:slice categoryとも言うが、comma categoryのことをslice categoryと呼ぶ本がある

*2:enriched category