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Quotient category

定義 Category

Congruence relation

Equivalence relationの族:

$\big( \sim _ {A, B} \subseteq \text{Hom} _ {\mathcal{C}}(A, B) ^ 2 \big) _ {A, B \in \mathcal{C} _ 0 }$

が、以下を満たすとき、category $\mathcal{C}$ 上のcongruence relationと言う。

${} ^ \forall f \sim {} ^ \forall f', {} ^ \forall g, {} ^ \forall h, g \circ f \circ h = g \circ f' \circ h$ *1

これは、

${} ^ \forall f \sim {} ^ \forall f', {} ^ \forall g \sim {} ^ \forall g', g \circ f \sim g \circ f' \sim g' \circ f \sim g' \circ f'$

と同値。

Quotient category

Category $\mathcal{C}$ 上のcongruence relation $\sim$ について、quotient category:

$\mathcal{C} / _ \sim$

を次のように定義できる:

$(\mathcal{C} / _ \sim) _ 0 = \mathcal{C} _ 0$
$\text{Hom}(A, B) = \text{Hom} _ {\mathcal{C}}(A, B) / \sim _ {A, B}$
$[g] \circ [f] = [g \circ f]$ *2
$1 _ A = [1 _ A ]$

Generating congruence relation

Binary relationの族:

$\big( R _ {A, B} \subseteq \text{Hom} _ {\mathcal{C}}(A, B) ^ 2 \big) _ {A, B}$

があれば、

$\mathcal{S} = \lbrace S : \text{conguence relation} \mid {} ^ \forall A, {} ^ \forall B, S _ {A, B} \supseteq R _ {A, B} \rbrace$

とすると、

$\big( \bigcap\limits _ {S \in \mathcal{S} } S _ {A, B} \big) _ {A, B}$

は、 $\mathcal{S}$ に属するcongruence relation。

参考文献

*1:A, B等の添字は省略

*2:congruence relationの要件により確かに関数になる