PS

Pointwise construction of adjoints

圏論 Adjunction

Universal morphismが族になるとadjunctionになる。

命題

Functor:

  • F : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}

について、 F-terminal morphismの族:

  • \big( \epsilon _ X : F(G _ X) \rightarrow X \big) _ {X \in \mathcal{C} }

が存在すれば、

  • G _ 0(X) = G _ X
  • \epsilon : \text{natural}

となるようなfunctor:

  • G : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}

を一意に作ることができる:

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このとき、 \epsilon は、adjunction:

  • F \dashv G

のcounitになる。

逆に、counit-adjunctionは、もちろんterminal morphismの族である。

Limit functor

Category \mathcal{C} がcompleteのときは、limiting cone*1の族:

  • \big(\lim\nolimits _ F : \Delta(\lim F) \rightarrow F \big) _ {F : \mathcal{J} \rightarrow \mathcal{C} }

があるということなので、

  • \Delta \dashv \lim

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参考文献

*1: \Delta-terminal morphism