PS

Reflector

Reflection

Inclusion functor:

  •  I : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}
  •  I(x) = x

について、initial morphism:

  •  r : B \rightarrow I(R)

 \mathcal{A}-reflection という。

Reflector

 \mathcal{A}-reflectionの族:

  •  \big( \eta _ B : B \rightarrow I(F _ B) \big) _ B

が存在すれば、これをunitとするadjunction:

  •  F : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}
  •  F \dashv I

を作ることができる。このfunctor  F \mathcal{A}-reflector という。

Reflective subcategory

Reflectorを持つsubcategory  \mathcal{A} のこと。 Full subcategoryであることが望ましいらしい。

命題

  •  \mathcal{A} : \text{reflective full subcategory}
    •  \Rightarrow F(\eta _ B) = \eta _ {FB}

Free functor

Inclusion functorのところをforgetful functor  U に緩めると、 reflectorに対応するものはfree functorと呼ばれる:

  •  F \dashv U

参考文献