PS

Limits in sets

圏論 Limit

命題

Domainがsmallなfunctor:

$F : \mathcal{J} \rightarrow \mathcal{Set}$

について、singleton setから $F$ へのconeの集合を

$\underset{j \in \mathcal{J}}{\operatorname{Cone}} F _ j := \lbrace x \mid (x _ j : \lbrace \ast \rbrace \rightarrow F _ j) _ {j \in \mathcal{J}} \rbrace$

とすると

$\nu _ j : \underset{j \in \mathcal{J}}{\operatorname{Cone}} F _ j \rightarrow F _ j$
$\nu _ j(\sigma) = \sigma _ j(\ast)$

なる関数族:

$(\nu _ j) _ {j \in \mathcal{J} }$

は、 $F$ のlimiting coneになっている:

$\underset{j}{\operatorname{Cone}} F _ j \cong \lim\limits _ j F _ j$

Products

特に、 $\mathcal{J}$ がdiscreteのときは、coneのnaturalityがtrivialなので

$\underset{j}{\operatorname{Cone}} F _ j \cong \lbrace x \mid (x _ j \in F _ j) _ {j \in \mathcal{J}} \rbrace$

となり、確かにproductになっている。

参考文献