PS

Exponentiation of functions

Has exponentialsなcategory  \mathcal{C}  \mathcal{C}-object  A について・・・

Exponentiation functor

  •  (\unicode{x2013}) ^ A : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}
  •  (f : B \rightarrow C) ^ A = \langle f \circ \epsilon _ B \rangle : B ^ A \rightarrow C ^ A

Covariant hom functor

  •  \text{Hom}(A, \unicode{x2013}) : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}
  •  \text{Hom}(A, f : B \rightarrow C)(g : A \rightarrow B) = f \circ g : A \rightarrow C

を定義できる。

命題

特に  \mathcal{C} = \mathcal{Set} のとき、

  •  (\unicode{x2013}) ^ A = \text{Hom}(A, \unicode{x2013})

つまり、関数のexponentiationは、compositionする高階関数

参考文献