PS

End

Wedge category

Difunctor:

  •  S : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}

へのwedgeをobjectとするcategory:

  •  \mathcal{Wedge}(S)

をcone categoryと同様にして作ることが出来る。

Ending wedge

 \mathcal{Wedge}(S) のterminal object:

  •  \big( u _ c : E \rightarrow S(c, c) \big)_{c \in \mathcal{C}_0 }

ending wedgeという。

End

Ending wedgeのvertex  E endといい

  •  \displaystyle\int _ b S(b, b) あるいは、  \displaystyle\int _ {\mathcal{C}} S

で表す:

  •  \big( u _ c : \displaystyle\int _ b S(b, b) \rightarrow S(c, c) \big) _ {c \in \mathcal{C} _ 0 }

一意性

Limiting coneと同様に、(terminal objectであるので)ending wedgeは一意性をもつ。

特に、isomorphism:

  •  \psi : E' \cong E

が存在すれば、

  •  \big(u _ c \circ \psi : E' \rightarrow S(c, c) \big) _ c

もending wedgeになる。

Mono性

Limiting coneと同様に、ending wedgeはmono性を持つ:

  •  \big( {} ^ {\forall} c, u _ c \circ f = u _ c \circ f' \big) \Rightarrow f = f'

Natural transformationの集合はend

  •  \omega _ c : \mathcal{D} ^ {\mathcal{C}}(U, V) \rightarrow \mathcal{D}(Uc, Vc)
  •  \omega _ c (\tau) = \tau _ c

とすると、

  •  (\omega _ c) _ {c \in \mathcal{C} _ 0}

は、ending wedgeになる:

  •  \mathcal{D} ^ {\mathcal{C}}(U, V) \cong \displaystyle\int _ c \mathcal{D}(Uc, Vc)

Ends in sets

Difunctor:

  •  S\ : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}

について、

  •  E = \lbrace \tau : \text{wedge} \mid (\tau _ c : 1 \rightarrow S(c, c) ) _ c \rbrace
  •  \omega _ c : E \rightarrow S(c, c)
  •  \omega _ c(\tau) = \tau _ c(\ast)

とすると、

  •  (\omega _c ) _ {c \in \mathcal{C} _ 0 }

は、ending wedgeになる:

  •  E \cong \displaystyle\int _ c S(c, c)

Limitはend

  •  (\omega _ c : e \rightarrow Fc) _ c がlimiting cone

つまり、

  •  \lim F \equiv \lim\limits _ c Fc \cong \displaystyle\int _ c Fc \equiv \displaystyle\int _ c (F \circ \pi _ 2)(c, c)

参考文献