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Twisted arrow category

圏論 定義 Category End Limit

Arrow category

Arrow category \mathcal{C}^{\rightarrow} とは、comma category:

  • ( 1 _ {\mathcal{C}} \downarrow 1 _ {\mathcal{C}} )

のことであった。

Twisted arrow category

任意のcategory \mathcal{C} について、morphismの向きを逆にするfunctor:

  • R : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \rightarrow \mathcal{C}
  • R(h : c \rightarrow d) = h : d \rightarrow c

を使ったcomma category:

  • (R \downarrow 1 _ {\mathcal{C}} )

のことを、twisted arrow categoryと呼び、

  • \mathcal{Tw}(\mathcal{C})

と書くことにする。

さらにそのforgetful functor:

  • U _ {\mathcal{C}} : \mathcal{Tw}(\mathcal{C}) \rightarrow \mathcal{C} ^ {\text{op}} \times \mathcal{C}
  • U _ {\mathcal{C}}(f : c \rightarrow c') = (c, c')
  • U _ {\mathcal{C}} \big( (h : d \rightarrow c, k : c' \rightarrow d') : f \rightarrow g \big) = (h, k) : (c, c') \rightarrow (d, d')

を定義できる。

記法

任意のwedge:

  • \big( \tau _ c : x \rightarrow S(c, c) \big) _ c

について、

  • \tau(f : c \rightarrow c') = S(1 _ c, f) \circ \tau _ c = S(f, 1 _ {c'}) \circ \tau _ {c'} : x \rightarrow S(c, c')

とする。Extranaturality squareの対角線を返すもの。

命題

任意のdifunctor:

  • S : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}

について、互いにinverseなfunctor:

  • K : \mathcal{Wedge}(S) \rightarrow \mathcal{Cone}(S \circ U _ {\mathcal{C}} )
  • K _ 0(\tau) = \big( \tau(f) \big) _ f
  • K _ 1(t : \tau \rightarrow \sigma) = t : \big( \tau(f) \big) _ f \rightarrow \big( \sigma(f) \big) _ f

と、

  • L : \mathcal{Cone}(S \circ U _ {\mathcal{C}} ) \rightarrow \mathcal{Wedge}(S)
  • L _ 0( \big( \varphi _ {f} : x \rightarrow S(c, c') \big) _ {f : c \rightarrow c'} ) = \big(\varphi _ {1 _ c} : x \rightarrow S(c, c) \big) _ c
  • L _ 1(t : \varphi \rightarrow \psi) = t : (\varphi _ {1 _ c}) _ c \rightarrow (\psi _ {1 _ c}) _ c

を定義できる:

これにより、limitに関する命題をendのものに移植できる。

参考文献

*1:参考文献によるとequivalenceなので怪しい･･･