PS

Kan extension

圏論 定義 Kan-extension

Precomposition functor

Category \mathcal{A} と functor K : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{C} について、whiskering functor precomposition functor:

を定義できる。

Right Kan extension

Functor:

  • K : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{C}
  • T : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{A}

について、 (\unicode{x2013})K-terminal morphism*2:

  • \epsilon : R K \rightarrow T

を、right Kan extesion of T along K ( K-ran) といい、 R : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{A} を、

  • \text{Ran} _ K T

で表す:

  • \epsilon : (\text{Ran} _ K T) K \rightarrow T

Hom-set Right Kan extension

Right Kan extensionはterminal morphismなので、Universal morphism - PSより、natural bijection:

  • \big( \psi _ H : \mathcal{A} ^ {\mathcal{C}}(H, R) \cong \mathcal{A} ^ {\mathcal{M}}(H K, T) \big) _ H

で表すことが出来る。具体的には、

  • \epsilon \mapsto (\sigma \mapsto \epsilon \circ \sigma K) _ H
  • \psi \mapsto \psi _ R(1 _ R)

は、互いにinverse。

Right Kan extension functor

特に、right Kan extensionの族:

  • \big( \epsilon _ T : (\text{Ran} _ K T) K \rightarrow T \big) _ {T \in \mathcal{A} ^ {\mathcal{M}} }

が存在すれば、Pointwise construction of adjoints - PSにより、functor:

  • \text{Ran} _ K :\ \mathcal{A} ^ {\mathcal{M}} \rightarrow \mathcal{A} ^ {\mathcal{C}}

を作ることが出来て、

  • (\unicode{x2013})K \dashv \text{Ran} _ K

Left Kan extension

同様にして、 (\unicode{x2013})K-initial morphism:

  • \eta : T \rightarrow KL

を、left Kan extesion of T along K ( K-lan) という。

参考文献

*1:whiskering

*2:terminal natural transformation