PS

EndによるYoneda lemma

圏論命題 Yoneda

Yoneda lemma

Category $\mathcal{C}$ をlocally smallとする。

任意の $\mathcal{C}$ -object $c$ と functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}$ について、

$Fc \cong \displaystyle\int _ {c'} \mathcal{Set}\big( \mathcal{C}(c, c'), Fc' \big)$

しかも、 $F$ と $c$ についてnatural。

具体的には、関数:

$\omega _ {c'} : Fc \rightarrow \mathcal{Set} \big( \mathcal{C}(c, c'), Fc' \big)$
$\omega _ {c'}(x)(f) = F(f)(x)$

とすると、 $(\omega _ {c'}) _ {c'}$ がending wedgeになる。

Naturalityはpointwise endsにより定義される(と思う)。

Contravariant Yoneda lemma

特に、 $\mathcal{C} = \mathcal{C} ^ {\text{op}}$ とすれば、functor $F : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \rightarrow \mathcal{Set}$ について、

$Fc \cong \displaystyle\int _ {c'} \mathcal{Set}\big( \mathcal{C}(c', c), Fc' \big)$

参考文献