PS

Coendからのleft Kan extension

命題

Functor:

  •  T : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{Set}
  •  K : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{C}

について、

  •  (\text{Lan} _ K T)c \cong \displaystyle\int ^ m \mathcal{C}(Km, c) \times Tm

しかも、 c についてnatural。

具体的には、 \mathcal{Set} はcocompleteなので、coending cowedgeの族:

  •  \left( \big( \omega _ {n, c} : \mathcal{C}(Kn, c) \times Tn \rightarrow \displaystyle\int ^ m \mathcal{C}(Km, c) \times Tm \big) _ n \right) _ c

を作ることができるが、ここで、

  •  \eta _n : Tn \rightarrow \displaystyle\int ^ m \mathcal{C}(Km, Kn) \times Tm
  •  \eta _ n(x) = \omega _ {n, Kn}(1 _ {Kn}, x)

とすると、 (\eta _ n) _ n は、left Kan extension of  T along  K になる。

参考文献