PS

Endからのright Kan extension

圏論 命題 Kan-extension

記法

Terminal natural transformation*1 (\tau _ c) _ c と natural transformation (\sigma _ c) _ c との mediator を

  • \tau _ c \langle \sigma _ c \rangle

と書くことにする。

命題

Functor:

  • T : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{Set}
  • K : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{C}

について、

  • (\text{Ran} _ K T)(c) \cong \displaystyle\int _ m \mathcal{Set}(\mathcal{C}(c, Km), Tm)

しかも、 c についてnatural。

証明

\mathcal{Set} は complete なので、ending wedge の族:

  • \left( \big( \omega _ n ^ c : \displaystyle\int _ m \mathcal{Set}( \mathcal{C}(c, Km), Tm) \rightarrow \mathcal{Set}(\mathcal{C}(c, Kn), Tn) \big) _ n \right) _ c

を作ることができるが、ここで、

  • \epsilon _ n : \displaystyle\int _ m \mathcal{Set}( \mathcal{C}(Kn, Km), Tm) \rightarrow Tn
  • \epsilon _ n(x) = \omega _ n ^ {Kn} (x)(1 _ {Kn})

とすると (\epsilon _ n) _ n は、 K-ran of T になる。Mediator は

  • \epsilon _ n \langle \sigma _n : R'Kn \to Tn \rangle := \big( \omega _ n ^ c \langle (x : R'c) \mapsto (h : c \to Kn) \mapsto \sigma _ n (R'(h)(x) ) \rangle \big) _ c

である。

参考文献

*1:universal morphism in a functor category