PS

Dense functor

Canonical natural transformation of comma categories

Comma category:

  •  (F \downarrow G)
  •  F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}
  •  G : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}

について、その定義により、 (F \downarrow G)-objectを添字とするmorphism族:

  •  \theta(F, G) = (f : Fa \rightarrow Gb)_{f \in (F \downarrow G)}

は、natural。

詳しくは、自明に定まるfunctor:

  •  \pi_{\mathcal{A}} : (F \downarrow G) \rightarrow \mathcal{A}
  •  \pi_{\mathcal{B}} : (F \downarrow G) \rightarrow \mathcal{B}

を使うと、

  •  \big( f : (F \circ \pi_{\mathcal{A}})(f) \rightarrow (G \circ \pi_{\mathcal{B}})(f) \big)_{f \in (F \downarrow G)}

は、canonical natural transformation:

  •  \theta(F, G) : F \circ \pi_{\mathcal{A}} \rightarrow G \circ \pi_{\mathcal{B}}

になる。

Dense functor

Functor:

  •  K : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{C}

について、

のとき、 Kdense functorという。

Codense functor

同様に、

のとき、 Kcodense functorという。

記法

  •  c \cong \text{colim}\big( (K \downarrow \Delta c) \rightarrow \mathcal{M} \overset{K}{\rightarrow} \mathcal{C} \big)
  •  c \cong \text{lim}\big( (\Delta c \downarrow K) \rightarrow \mathcal{M} \overset{K}{\rightarrow} \mathcal{C} \big)

参考文献

*1:canonical colimiting cocone

*2:canonical limiting cone