Pointwise Kan extensions

Functor:

について･･･

$\mathcal{A}$ がlocally smallのとき、right kan extension:

で、

を満たすものを、pointwise right Kan extensionという。

自明なforgetful functorを

としたとき、limiting coneの族:

$\left( \big(\lambda ^ c _ f : R_c \rightarrow (T \circ \pi ^ c )(f) \big) _ {f \in (\Delta c \downarrow K)} \right) _ {c \in \mathcal{C}}$

が存在するならば、

${} ^ {\forall} c, R _ 0(c) = R_c$
${} ^ {\forall} g : c \rightarrow c', {} ^ {\forall} f' : c' \rightarrow Km, \lambda ^ c _ {f' \circ g} = \lambda ^ {c'} _ {f'} \circ R _ 1(g)$

なるfunctor:

を一意に作ることが出来る。さらにこのとき、

とすると、これは、right Kan extension of $T$ along $K$ になる。

特に、 $\mathcal{A}$ がlocally smallのとき、 $\epsilon$ はpointwise。

Pointwise right Kan extension of $T$ along $K$ :

が存在するならば、

$\big( \lambda ^ c _ {f : c \rightarrow Kn} = \epsilon _ n \circ R(f) \big) _ {c \in \mathcal{C}}$

とすると、limiting coneの族となる。

$(\text{Ran} _ K T)c \cong \lim \big( (\Delta c \downarrow K) \to \mathcal{M} \overset{T}{\to} \mathcal{A} \big)$

$\mathcal{A},\ \mathcal{C}$ がlocally smallのとき、natural transformation:

と、関数族:

$\varphi ^ c _ a : \mathcal{A}(a, Rc) \rightarrow \mathcal{Set} ^ {\mathcal{M}}\big(\mathcal{C}(c, K\unicode{x2013}),\ \mathcal{A}(a, T\unicode{x2013}) \big)$
$\varphi ^ c _ a(g : a \rightarrow Rc) _ n(f : c \rightarrow Kn) = \epsilon _ n \circ R(f) \circ g$