Power

$\mathcal{C}$ をlocally small categoryとする。

について、constant functor:

のlimit、つまりproduct:

を、power of $(J, b)$ といい、

等々と書く。そのprojectionは、

のようなmorphism族である。

Power projectionは $\Delta$ -terminal morphismなので、Universal morphism - PSによりnatural bijectionで表すことが出来るが、 $J$ がdiscreteであることから少し簡単になる:

- $\cong \mathcal{C} ^ J(\Delta c, \Delta b)$
- $\cong \mathcal{Set}(J, \mathcal{C}(c, b))$ natural in $c$

特に、 $\mathcal{C} = \mathcal{Set}$ のとき、

とすれば、 $(\tau _ j : c \rightarrow b) _ j$ とのmediatorを

とする、power projectionになる:

Power projectionの族:

$\left( (\pi ^ {J} _ j : b ^ {J} \rightarrow b) _ {j \in J} \right) _ J$

が存在するならば、これをnaturalにするただ一つのcontravariant functor:

$b ^ {(\unicode{x2013})} : \mathcal{Set} \rightarrow \mathcal{C}^{\text{op}}$
$b ^ {h : J \rightarrow J'} = \left\langle ( {\pi}^{J'}_{h(j)} : b^{J'} \rightarrow b )_j \right\rangle _ {\pi ^ J} : b ^ {J'} \rightarrow b ^ {J}$

を作ることができて、

*1: $J$ をdiscrete categoryとみなしている