PS

Strong monad

圏論定義命題 Monad

Strong monad

Monoidal category:

$(\mathcal{C}, \otimes, I)$

について、もろもろのcoherence conditionを満たす

monad: $(T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}, \eta, \mu)$
natural transformation: $(\sigma _ {A, B} : A \otimes TB \to T(A \otimes B) ) _ {A, B}$ (strength)

のペアのこと。

命題

monoidal category: $(\mathcal{Set}, \times, \lbrace \ast \rbrace)$
monad: $(T : \mathcal{Set} \to \mathcal{Set}, \eta, \mu)$

について、

$\sigma _ {A, B} : A \times FB \to F(A \times B)$
$\sigma _ {A, B} (a, c) := T(b \mapsto (a, b))(c)$

とすれば、

$(\sigma _ {A, B}) _ {A, B}$

はstrength。

証明

- $= \mu _ {A \times B} \circ T ( \eta _ {A \times B} \circ ( b \mapsto (a, b) )$
- $= \mu _ {A \times B} \circ T ( b \mapsto \eta _ {A \times B} (a, b) )$

に注意する。

系

同様にして、Haskellのmonadはstrong。

参考文献