PS

Representable functor

Representable functor

  •  {} ^ \exists A \in \mathcal{C}, \mathcal{C}(A, -) \cong F

なるfunctor:

  •  F : \mathcal{C} \to \mathcal{Set}

のこと。

Copower

Power - PSのdual:

  •  \coprod _ J b := \displaystyle\coprod (\Delta b : J \to \mathcal{C})

のこと。

Copowers in sets

特に、 \mathcal{C} = \mathcal{Set} のとき

  •  \coprod _ J b \cong J \times b

命題.1

Functor:

  •  U : \mathcal{C} \to \mathcal{Set}

について、

  •  {} ^ \exists F \dashv U : \mathcal{C} \to \mathcal{Set}
    •  \implies U : \text{representable}

証明

  •  \mathcal{C}(F(\lbrace \ast \rbrace), C)
    •  \cong \mathcal{Set}(\lbrace \ast \rbrace, UC)
    •  \cong UC

命題.2

Representable functor:

  •  U : \mathcal{C} \to \mathcal{Set}
  •  ( \sigma _ C : \mathcal{C}(A, C) \cong UC ) _ C

について、functor:

  •  F : \mathcal{Set} \to \mathcal{C}
  •  F(J) := \coprod _J A

が定義できるならば、

  •  F \dashv U

証明

  •  \mathcal{C}(FJ, C)
    •  \cong \mathcal{C}(\coprod _ J A, C)
    •  \cong \mathcal{Set}(J, \mathcal{C}(A, C))
    •  \cong \mathcal{Set}(J, UC)

参考文献