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Category of applicative functors

圏論定義 Haskell Applicative

Applicative morphism

二つのapplicative functor:

$(F, \mathtt{pure} ^ F, \mathtt{ \unicode{x003c} \unicode{x002a} \unicode{x003e}} ^ F)$
$(G, \mathtt{pure} ^ G, \mathtt{ \unicode{x003c} \unicode{x002a} \unicode{x003e}} ^ G)$

の間のmorphismを

$\tau \circ \mathtt{pure} ^ F = \mathtt{pure} ^ G$
$\tau _ b ( x\ \mathtt{ \unicode{x003c} \unicode{x002a} \unicode{x003e}} ^ F y ) = \tau _ {a \to b} (x)\ \mathtt{ \unicode{x003c} \unicode{x002a} \unicode{x003e}} ^ G \tau _ a (y)$

を満たすnatural transformation:

$\tau : F \Rightarrow G$

とする。

Monoidal morphism

Applicative functorはmonoidal endofunctorで表現できたので、同様に
二つのmonoidal endofunctor on monoidal $\mathcal{Set}$ or $\mathcal{Hask}$ :

$(F, \phi ^ F, u ^ F)$
$(G, \phi ^ G, u ^ G)$

の間のmorphismを

$\tau _ { \lbrace \ast \rbrace } \circ u ^ F = u ^ G$
$\tau _ {a \times b} (x\ \phi ^ F y) = \tau _ a(x)\ \phi ^ G \tau _ b(y)$

を満たすnatural transformation:

$\tau : F \Rightarrow G$

とする。

命題

上記の二つのmorphismは同値。

Category of applicative functors

Applicative functorをobject、applicative morphismをmorphismとするcategoryを定義できる。
Category of monoidal endofunctorsも同様。

参考文献