PS

n-Category

圏論 定義

0-category

集合のこと。その要素を object と言うことにする。

0-funtor

関数のこと。

n-category

再帰的に定義する。 n-category \mathcal{A} とは

  1. class: | \mathcal{A} | 　(objects)
  2. (n-1)-category の族: \big( \mathcal{A}(A, B) \big) _ {A, B \in | \mathcal{A} | }
  3. (n-1)-functor の族: \big( \mathsf{c} _ {A, B, C} : \mathcal{A}(A, B) \times \mathcal{A}(B, C) \to \mathcal{A}(A, C) \big) _ {A, B, C \in | \mathcal{A} | } 　(composition)
  4. (n-1)-functor の族: \big( \mathsf{u} _ A : \lbrace \ast \rbrace \to \mathcal{A}(A, A) \big) _ { A \in | \mathcal{A} | } 　(units)

からなる代数的構造で

  • \mathsf{c} _ {A, C, D} \circ (\mathsf{c} _ {A, B, C} \times 1 _ {\mathcal{A}(C, D) } ) = \mathsf{c} _ {A, B, D} \circ (1 _ { \mathcal{A}(A, B) } \times \mathsf{c} _ {B, C, D} ) 　(associativity)
  • \mathsf{c} _ {A, A, B} \circ (\mathsf{u} _ A \times 1 _ {\mathcal{A}(A, B)}) = \operatorname{\cong}　(left unitality)
  • \mathsf{c} _ {A, B, B} \circ (1 _ {\mathcal{A}(A, B)} \times \mathsf{u} _ B) = \operatorname{\cong}　(right unitality)

を満たすもの。ただし、 \lbrace \ast \rbrace は singleton category、 1 _ {\mathcal{A}(A, B)} 等は identity functor とする。

(まだ)関数ではないので point-free な表現になっている。そこで･･･

Morphisms

n-category \mathcal{A}  について、class:

  • \mathsf{Mor}(\mathcal{A})

を次のように再帰的に定義する:

\mathsf{Mor}(\mathcal{A} : \operatorname{\mathit{n}\mathrm{-category}}) := \left\{ \begin{array}{cl} \mathcal{A} & \mbox{if } n = 0 \\ \displaystyle\coprod\limits _ {A, B} \mathsf{Mor}(\mathcal{A}(A, B)) & \mbox{otherwise} \end{array} \right.

記法

  • (A \overset{f}{\to} B) := (f: A \to B) := (A, B, f) \in \mathsf{Mor}(\mathcal{A})

i-cell

n-category の morphism は

  • A \overset{f \overset{\alpha \overset{ \overset{\Xi}{\vdots} }{\to} \beta}{\longrightarrow} g}{\longrightarrow} B

のような構造になっており、下の段から ( 0 から数えて) i (\leq n) 段目の object を i-cell という。

n-functor

再帰的に定義する。 n-functor:

F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}

とは

  1. n-category: \mathcal{A}　(domain)
  2. n-category: \mathcal{B}　(codomain)
  3. 関数: F : |\mathcal{A}| \to |\mathcal{B}|
  4. (n-1)-functor の族: \big( F _ {A, B} : \mathcal{A}(A, B) \to \mathcal{B}(FA, FB) \big) _ {A, B \in |\mathcal{A}| }

からなる代数的構造で

  • \mathsf{c} _ {FA, FB, FC} \circ (F _ {A, B} \times F _ {B, C} ) = F _ {A, C} \circ \mathsf{c} _ {A, B, C}
  • F _ {A, A} \circ \mathsf{u} _ A = \mathsf{u} _ {FA}

を満たすもの。

n-function

(とはたぶん言わない)

n-functor F : \mathcal{A} \to \mathcal{B} について、関数:

  • F : \mathsf{Mor}(\mathcal{A}) \to \mathsf{Mor}(\mathcal{B})

を次のように再帰的に定義する:

(F : \operatorname{\mathit{n}\mathrm{-functor}}) := \left\{ \begin{array}{cl} F & \mbox{if } n = 0 \\ (A \overset{f}{\to} B) \mapsto (F _ {A, B})(f) & \mbox{otherwise} \end{array} \right.

参考文献