PS

n-Category

0-category

集合のこと。その要素を object と言うことにする。

0-funtor

関数のこと。

n-category

再帰的に定義する。 n-category  \mathcal{A} とは

  1. class:  | \mathcal{A} |  (objects)
  2.  (n-1)-category の族:  \big( \mathcal{A}(A, B) \big) _ {A, B \in | \mathcal{A} | }
  3.  (n-1)-functor の族:  \big( \mathsf{c} _ {A, B, C} : \mathcal{A}(A, B) \times \mathcal{A}(B, C) \to \mathcal{A}(A, C) \big) _ {A, B, C \in | \mathcal{A} | }  (composition)
  4.  (n-1)-functor の族:  \big( \mathsf{u} _ A : \lbrace \ast \rbrace \to \mathcal{A}(A, A) \big) _ { A \in | \mathcal{A} | }  (units)

からなる代数的構造

  •  \mathsf{c} _ {A, C, D} \circ (\mathsf{c} _ {A, B, C} \times 1 _ {\mathcal{A}(C, D) } ) = \mathsf{c} _ {A, B, D} \circ (1 _ { \mathcal{A}(A, B) } \times \mathsf{c} _ {B, C, D} )  (associativity)
  •  \mathsf{c} _ {A, A, B} \circ (\mathsf{u} _ A \times 1 _ {\mathcal{A}(A, B)}) = \operatorname{\cong} (left unitality)
  •  \mathsf{c} _ {A, B, B} \circ (1 _  {\mathcal{A}(A, B)} \times \mathsf{u} _ B) = \operatorname{\cong} (right unitality)

を満たすもの。ただし、 \lbrace \ast \rbrace は singleton category、 1 _ {\mathcal{A}(A, B)} 等は identity functor とする。

(まだ)関数ではないので point-free な表現になっている。そこで・・・

Morphisms

 n-category  \mathcal{A}  について、class:

  •  \mathsf{Mor}(\mathcal{A})

を次のように再帰的に定義する:


\mathsf{Mor}(\mathcal{A} : \operatorname{\mathit{n}\mathrm{-category}}) :=
\left\{ \begin{array}{cl}
    \mathcal{A}                                                          & \mbox{if } n = 0 \\
    \displaystyle\coprod\limits _ {A, B} \mathsf{Mor}(\mathcal{A}(A, B)) & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.

記法

  •  (A \overset{f}{\to} B) := (f: A \to B) := (A, B, f) \in \mathsf{Mor}(\mathcal{A})

i-cell

 n-category の morphism は

  •  A \overset{f \overset{\alpha \overset{ \overset{\Xi}{\vdots} }{\to} \beta}{\longrightarrow} g}{\longrightarrow} B

のような構造になっており、下の段から ( 0 から数えて)  i (\leq n) 段目の object を  i-cell という。

n-functor

再帰的に定義する。 n-functor:

 F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}

とは

  1.  n-category:  \mathcal{A} (domain)
  2.  n-category:  \mathcal{B} (codomain)
  3. 関数:  F : |\mathcal{A}| \to |\mathcal{B}|
  4.  (n-1)-functor の族:  \big( F _ {A, B} : \mathcal{A}(A, B) \to \mathcal{B}(FA, FB) \big) _ {A, B \in |\mathcal{A}| }

からなる代数的構造

  •  \mathsf{c} _ {FA, FB, FC} \circ (F _ {A, B} \times F _ {B, C} ) = F _ {A, C} \circ \mathsf{c} _ {A, B, C}
  •  F _ {A, A} \circ \mathsf{u} _ A = \mathsf{u} _ {FA}

を満たすもの。

n-function

(とはたぶん言わない)

 n-functor  F : \mathcal{A} \to \mathcal{B} について、関数:

  •  F : \mathsf{Mor}(\mathcal{A}) \to \mathsf{Mor}(\mathcal{B})

を次のように再帰的に定義する:


(F : \operatorname{\mathit{n}\mathrm{-functor}}) :=
\left\{ \begin{array}{cl}
    F                                     & \mbox{if } n = 0 \\
    (A \overset{f}{\to} B) \mapsto (F _ {A, B})(f) & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.

参考文献