PS

Conjugate

圏論 定義 命題 Adjunction

Adjunction from \mathcal{X} to \mathcal{A}

Adjunction:

  • (F : \mathcal{X} \to \mathcal{A}) \dashv G

を便宜上 adjunction from \mathcal{X} to \mathcal{A} と呼ぶことにする:

  • (F \dashv G) : \mathcal{X} \to \mathcal{A}

Conjugate

Homset-adjunction from \mathcal{X} to \mathcal{A} :

  • \big( F \dashv G, \varphi \big)
  • \big( F' \dashv G', \varphi' \big)

について

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を commute にする natural transformation のペア:

  1. \sigma : F \Rightarrow F'
  2. \tau: G' \Rightarrow G

を conjugate という。

命題

Adjunction from \mathcal{X} to \mathcal{A} :

  • F \dashv G
  • F' \dashv G'

および natural transformation:

  • \sigma : F \Rightarrow F'

について、 (\sigma, \tau) が conjugate となるような natural transformation:

  • \tau : G' \Rightarrow G

がただ一つ存在する。

Conjugate による category of adjunctions

Adjunction from \mathcal{X} to \mathcal{A} を object、conjugate を morphism とする category:

  • \mathcal{Adj}(\mathcal{X}, \mathcal{A})

を作れる。

参考文献