PS

Kan functor

(と呼ぶかは分からない)

Kan extension の族から

ある functor:

  •  J : \mathcal{C} \to \mathcal{D}

について、right kan extension along  J の族:

  •  ( \mathsf{Ran} _ J G) _ {G \in \mathcal{E} ^ \mathcal{C}}

つまり  (\unicode{x2013})J-terminal morphism の族が存在すれば、Pointwise construction of adjoints - PS より

  •  (\unicode{x2013})J \dashv \mathsf{Ran} _ J

となるような functor:

  •  \mathsf{Ran} _ J : \mathcal{E} ^ \mathcal{C} \to  \mathcal{E} ^ \mathcal{D}

を作れる。

Kan extension の族の族から

Right kan extension の族:

  •  (\mathsf{Ran} _J G) _ {J \in \mathcal{D} ^ \mathcal{C}, G \in \mathcal{E} ^ \mathcal{C} }

が存在すれば、上記により adjunction の族:

  •  \big( (\unicode{x2013})J \dashv \mathsf{Ran} _ J \big) _ { J \in \mathcal{D} ^ \mathcal{C} }

を作れるので、さらに Adjunctions with parameters - PS より bifunctor:

  •  \mathsf{Ran} : (\mathcal{D} ^ \mathcal{C}) ^ \mathsf{op} \times \mathcal{E} ^ \mathcal{C} \to \mathcal{E} ^ \mathcal{D}

を作れる。

参考文献