PS

Enriched category

圏論定義 String diagram Enriched

Enriched category

Monoidal category $(\mathcal{V},\otimes,I)$ について

$\mathcal{V}$ -category $\mathcal{A}$

とは

集合: $\mathsf{ob}(\mathcal{A})$
$\mathcal{V}$ -object の族: $\big( \mathcal{A}(A,B) \big) _ {A, B \in \mathsf{ob}(\mathcal{A}) }$
$\mathcal{V}$ -morphism の族: $\big( M _ {A, B, C} : \mathcal{A}(B,C) \otimes \mathcal{A}(A,B) \to \mathcal{A}(A,C) \big) _ {A,B,C \in \mathsf{ob}(\mathcal{A})}$
$\mathcal{V}$ -morphism の族: $\big( j _ A : I \to \mathcal{A}(A, A) \big) _ {A \in \mathsf{ob}(\mathcal{A}) }$

から成る代数的構造で、もろもろの coherence axiom を満たすもの。

String diagram にて

~~ひもの左右にタグが付いている~~ 二本のひもが束になって $\mathcal{V}$ -morphism になっている･･･という感じ。

f:id:mbps:20150324020634p:plain

以降、 $\mathcal{A}$ -object 名は省略。

f:id:mbps:20150324020801p:plain

f:id:mbps:20150324020809p:plain

Coherence axioms:

f:id:mbps:20150324020823p:plain

f:id:mbps:20150324020843p:plain

例

$(\mathcal{Set},\times, \lbrace \ast \rbrace)$ -category は 1-category のこと。
$(\mathcal{Cat},\times, \lbrace \ast \rbrace)$ -category は 2-category のこと。

Underlying 1-category

$\mathcal{V}$ -category $\mathcal{A}$ について underlying category:

$\mathcal{A} _ 0$

を定義できる:

f:id:mbps:20150324020851p:plain

$\mathcal{A} _ 0$ -morphism を $\mathcal{A}$ -morphism と言ってしまっていい(と思う)。

参考文献