PS

Self-enriched category

圏論 定義 命題 String diagram Monoidal

(と呼んでいいのかな)

Closed monoidal category - PS の続き･･･

Self-enriched category

Closed monoidal category*1:

  • \mathcal{V} := (\mathcal{V} _ 0, \otimes, I)

について \mathcal{V}-enriched category:

を次のようにして定義できる。

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次の functoriality により、これは確かに \mathcal{V}-category になる。

Functoriality of currying

Closed monoidal category - PS の命題により

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が成立する(と思う)。

例

(\mathcal{Cat}, \times, \lbrace \ast \rbrace) を self-enrich すると、small 1-category を 0-cell とする 2-category、つまり \mathcal{Cat}-category:

  • \mathbf{CAT}

になる。

命題.1

  • \mathcal{V} _ 0 \overset{\square}{\cong} (\mathcal{V}) _ 0

(右側は (\mathcal{V}) の underlying 1-category)

証明

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と functoriality of currying による。

命題.2

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証明

\pi の Z についての naturality により、 [A,g] が \pi で表せるので Adjunctions with parameters - PS の 一意性より。

参考文献

*1:symmetric でなくていいと思うのだが･･･

*2:本当は括弧をつけない